Пусть функция y = f (x) определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x₀ обозначим через Dx и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x₀) обозначим через Dy и назовем приращением функции.

Итак, Dx = x – x₀, Dy = f(x) – f(x₀). Из равенства Dx = x – x₀ получаем равенство x = x₀ + Dx, тогда  Dy = f(x₀ + Dx) – f(x₀).

Производной функции f(x) в точке x₀ называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается (x₀).

Итак,

.

Пример 1. Найти производную для функции f(x) = x² в точке x₀ = 3.

Решение

Если (x₀) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x₀. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x₀ и ее непрерывностью в этой точке. Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x₀, если она определена в точке x₀ и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство:

Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:

.      (*)

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x₀, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x₀, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Дано, что f’(x₀) существует, т.е.  есть некоторое число. Покажем, что выполняется равенство (*):

Итак, доказано, что f(x) непрерывна в точке x₀.

Замечание. Если в точке x₀ функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером.

Пример 2. Функция f(x) = | x | непрерывна в точке x₀ = 0, так как .

Покажем, что эта функция не имеет производной в точке x₀:

 не существует, т.е. f(x) не дифференцируема в точке x₀ = 0.

Рассмотрим геометрический смысл производной.

На рис. 2.1 изображен график непрерывной функции  y = f (x). Точка M₀ на графике имеет координаты  x₀,  f(x₀),  другая точка графика M – координаты    x₀ + Dx,   f(x₀ + Dx). Прямая M₀M является секущей для линии  y = f(x),  она наклонена к оси Ox под углом b. Пусть (x₀) существует, т.е.  есть некоторое число. Из DM₀MА получаем:  (известно, что tgb – угловой коэффициент прямой M₀M). Если Dx ® 0, то точка M движется по графику функции y = f(x), приближаясь к точке M₀, при этом секущая M₀M, поворачиваясь вокруг точки M₀, стремится занять предельное положение, т.е. совпасть с касательной M₀K, при этом  (a – угол между касательной M₀K и осью Ox), tgb ® tga.

Таким образом,  но tga = k есть угловой коэффициент касательной M₀K.

Итак, угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в точке с абсциссой x₀ равен производной функции  f(x) в точке x₀: (x₀) = k = tga.

В этом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной M₀K имеет вид:  y – f (x₀) = (x₀)(x – x₀).

Переходим к рассмотрению механического смысла производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t.

Пусть в момент времени t₀ точка находилась в положении M₀ (рис. 2.2). Поставим задачу: определить скорость материальной точки в момент t₀. Рассмотрим другой момент времени t₀ + Dt. За время t₀ пройденный точкой путь равен:  S₀ = f (t₀), за (t₀ + Dt) пройдено расстояние S = f(t₀ + Dt), и точка оказалась в положении M, тогда за время Dt пройден путь M₀M и он равен:

S – S₀ = f(t₀ + Dt) – f(t₀) = DS.

Средняя скорость V_ср за пpомежуток времени Dt равна:  Но средняя скорость может быть различной, в зависимости от промежутка времени Dt. Скоростью в момент времени t₀ (обозначим V(t₀)) называется предел средней скорости V_ср при Dt ® 0. Итак,

Вывод. Производная от пути S = f(t) в момент времени t₀ есть скорость в момент времени t₀.