2.1. Понятие производной, ее геометрический и механический смысл

Пусть функция y = f (x) определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, x – точка из этой окрестности. Введем обозначения: разность x – x0 обозначим через Dx и назовем приращением аргумента, а разность f(x) – f(x0) обозначим через Dy и назовем приращением функции.

Итак, Dx = x – x0, Dy = f(x) – f(x0). Из равенства Dx = x – x0 получаем равенство x = x0 + Dx, тогда  Dy = f(x0 + Dx) – f(x0).

Производной функции f(x) в точке x0 называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю.

Производная обозначается (x0).

Итак,

.

Пример 1. Найти производную для функции f(x) = x2 в точке x0 = 3.

Решение

Если (x0) существует, то говорят, что функция f (x) дифференцируема в точке x0. Установим связь между дифференцируемостью функции f (x) в точке x0 и ее непрерывностью в этой точке. Напомним, что функция f (x) непрерывна в точке x0, если она определена в точке x0 и некоторой ее окрестности, и выполняется равенство:

Переформулируем это определение, используя понятия приращения аргумента и приращения функции. Из этого равенства получаем:

.      (*)

Другими словами, функция f (x) непрерывна в точке x0, если бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции.

Теорема. Если функция f(x) дифференцируема в точке x0, то она непрерывна в этой точке.

Доказательство. Дано, что f’(x0) существует, т.е.  есть некоторое число. Покажем, что выполняется равенство (*):

Итак, доказано, что f(x) непрерывна в точке x0.

Замечание. Если в точке x0 функция f (x) непрерывна, то в этой точке функция может и не иметь производной, что подтверждается следующим примером.

Пример 2. Функция f(x) = | x | непрерывна в точке x0 = 0, так как .

Покажем, что эта функция не имеет производной в точке x0:

 

 не существует, т.е. f(x) не дифференцируема в точке x0 = 0.

Рассмотрим геометрический смысл производной.

На рис. 2.1 изображен график непрерывной функции  y = f (x). Точка M0 на графике имеет координаты  x0f(x0),  другая точка графика M – координаты    x0 + Dx,   f(x0 + Dx). Прямая M0M является секущей для линии  y = f(x),  она наклонена к оси Ox под углом b. Пусть (x0) существует, т.е.  есть некоторое число. Из DM0 получаем:  (известно, что tgb – угловой коэффициент прямой M0M). Если Dx ® 0, то точка M движется по графику функции y = f(x), приближаясь к точке M0, при этом секущая M0M, поворачиваясь вокруг точки M0, стремится занять предельное положение, т.е. совпасть с касательной M0K, при этом  (a – угол между касательной M0K и осью Ox), tgb ® tga.

Таким образом,  но tga = k есть угловой коэффициент касательной M0K.

Итак, угловой коэффициент касательной к графику y = f (x) в точке с абсциссой x0 равен производной функции  f(x) в точке x0: (x0) = k = tga.

В этом состоит геометрическое истолкование производной. Очевидно, что уравнение касательной M0K имеет вид:  y – f (x0) = (x0)(x – x0).

Переходим к рассмотрению механического смысла производной.

Пусть материальная точка движется прямолинейно неравномерно по закону S = f(t), где t – время, S – путь, проходимый точкой за время t.

Пусть в момент времени t0 точка находилась в положении M0 (рис. 2.2). Поставим задачу: определить скорость материальной точки в момент t0. Рассмотрим другой момент времени t0 + Dt. За время t0 пройденный точкой путь равен:  S0 = f (t0), за (t0 + Dt) пройдено расстояние S = f(t0 + Dt), и точка оказалась в положении M, тогда за время Dt пройден путь M0M и он равен:

S – S0 = f(t0 + Dt) – f(t0) = DS.

Средняя скорость Vср за пpомежуток времени Dt равна:  Но средняя скорость может быть различной, в зависимости от промежутка времени Dt. Скоростью в момент времени t0 (обозначим V(t0)) называется предел средней скорости Vср при Dt ® 0. Итак,

Вывод. Производная от пути S = f(t) в момент времени t0 есть скорость в момент времени t0.