Формула Тейлора является одной из важнейших формул математического анализа, она имеет очень большое число теоретических и практических применений.
Рассмотрим предварительно следующую задачу: данный многочлен Pn(x) степени n разложить по степеням разности (x – x0) (где x0 – некоторое число), т.е. представить Pn(x) в виде:
Pn(x) = a0 + a1(x – x0) + a2(x – x0)2 +…+ an(x – x0)n. (2.19)
Вычислим коэффициенты: a0, a1, …, an. Для этого найдем сначала производные от Pn(x):
(x) = a1 + 2a2(x – x0) + 3a3(x – x0)2 + … + n×an(x – x0)n–1;
(x) = 2a2 + 2×3a3(x – x0) + 3×4a4(x – x0)2 + … + (n – 1) ×n×an(x – x0)n–2;
(x) = 2×3×a3 + 2×3×4a4(x – x0) + … + (n – 2)(n – 1)×n×an(x – x0)n–3;
…; Pn(n)(x) = 1×2×…× (n – 1)×n×an; Pn(n+1)(x) = 0. (2.20)
Полагая в равенствах (2.19), (2.20) x = x0, получим:
Pn(x0) = a0, (x0) = a1, 
(x0) = 2a2, (x0) = 2×3a3, …, Pn(n)(x0) = 1×2×…(n – 1)×n×an,
откуда находим:
a0 = Pn(x0), a1 = (x0), a2 = 
, a3 = 
, …, an = 
.
Подставляя найденные значения a0, a1, …, an в равенство (2.19), получим разложение многочлена Pn(x) по степеням (x – x0):
Pn(x) = Pn(x0) + 
(x – x0) + 
(x – x0)2 + … + 
(x – x0)n. (2.21)
Формула (2.21) называется формулой Тейлора для многочлена Pn(x) n-й степени.
Пусть функция f(x) имеет производные до (n + 1)-го порядка включительно в некотором промежутке, и число x0 принадлежит этому промежутку.
Поставим задачу: найти многочлен n-й степени Pn(x), такой, чтобы значение Pn(x0) совпадало с f(x0), а значение всех производных для Pn(x) в точке x0 (до n-го порядка) совпадало со значениями соответствующих производных для f(x) в точке x0, т.е.
Pn(x0) = f(x0), (x0) = 
(x0), (x0) = 
(x0), …, Pn(n)(x0) = f (n)(x0).
Тогда по формуле (3) многочлен Pn(x) имеет вид:
Pn(x) = f(x0) + 
(x – x0) + 
(x – x0)2 + … + 
(x – x0)n. (2.22)
Естественно ожидать, что многочлен Pn(x) будет в некотором смысле «близок» к функции f(x), по крайней мере, около точки x0.
Обозначим: Rn(x) = f (x) – Pn(x), тогда f (x) = Pn(x) + Rn(x). Подставляя вместо Pn(x) его выражение (2.22), получим формулу:
f (x) = f (x0) + (x – x0) + (x – x0)2 +…+ 
(x – x0)n + Rn(x), (2.23)
которая называется формулой Тейлора для функции f(x), а Rn(x) называется остаточным членом.
Если для некоторого x остаточный член Rn(x) достаточно мал, то формула (2.23) дает приближенное значение для f(x): f(x) » Pn(x), при этом погрешность этого приближения равна: Rn(x). Для оценки Rn(x) применяются специальные формулы, одна из них называется формой Лагранжа и имеет вид:
Rn(x) = 
(x – x0)n+1, (2.24)
где c – некоторое число, заключенное между x0 и x. Число c можно представить в виде: c = x0 + q(x – x0), где q – некоторое число, заключенное между 0 и 1, т.е. 0 < q < 1. Тогда формула остаточного члена примет вид:
Rn(x) = 
(x – x0)n+1, (2.25)
Другая формула для Rn(x) называется формой Коши и имеет вид:
Rn(x) = 
(x – x0)n+1×(1 – q)n, (2.26)
где q удовлетворяет неравенству 0 < q < 1.
Вообще говоря, значения q в формулах (2.25) и (2.26) различные. (Вывод этих формул см. [6, с. 186]).
Заметим, что если в формулах Тейлора (2.23) положить n = 0 и остаточный член записать в форме Лагранжа (2.24), то получим формулу: f(x) = f(x0) + 
(c)(x – x0), откуда приходим к формуле Лагранжа: f(x) – f(x0) = (c)(x – x0). Таким образом, формула Тейлора является обобщением формулы Лагранжа (конечных приращений).
Если в формуле Тейлора (2.23) положить x0 = 0, то получится формула, называемая формулой Маклорена:
f(x) = f(0) + 
x + 
x2 + … + 
xn + Rn(x), (2.27)
где Rn(x) = 
xn+1 – остаточный член в форме Лагранжа (0 < q < 1).
Рассмотрим применение формулы Тейлора. Найдем разложение некоторых элементарных функций по формуле Тейлора, причем возьмем x0 = 0 (т.е. найдем формулы Маклорена для этих функций).
1) f(x) = ex
Так как (x) = ex, 
(x) = ex, …, f (n)(x) = ex и f(0) = 1, (0) = 1, (0) =1, …, f (n)(0) = 1, то по формуле (2.27) получаем:
ex = 1 + 
+ 
+ … + 
+ 
eqx, 0 < q < 1. (2.28)
Если |x| £ 1, то при n = 8 получаем: R8 <
×3 <
.
Пример 1. Вычислить приближенно число e и оценить погрешность.
Решение. Ранее нами было введено число e как предел последовательности: e = 
и установлено, что 2 < e < 3. Используя формулу (2.28), положив x = 1, n = 8 имеем: e » 1 + 1 + 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
+ 
» 2,71828, причем погрешность R8(1) не превосходит 0,00001.
2) f (x) = sinx
Найдем производные до (n + 1)-го порядка для f(x) = sinx и их значения при x= 0:
f(x) = sinx, f(0) = 0,
(x) = cosx = sin(x +
), (0) = 1,
(x) = –sinx = sin(x + 2×), (0) = 0,
(x) = –cosx = sin(x + 3×), (0) = –1,
f (4)(x) = sinx = sin(x + 4×), f (4)(0) = 0,
f (n)(x) = sin(x + n×), f (n)(0) = sin
.
Если n = 2m, m Î N, то f (2m)(0) = 0; при n = 2m + 1: f (2m+1)(0) = (–1)m, поэтому
sinx = x – 
+ 
– … + (–1)m
+ (–1)m+1
cosqx. (2.29)
3) Аналогично для функции f(x) = cosx можно получить следующую формулу Маклорена:
cosx = 1 – + 
– … + (–1)m
+ (–1)m+1
cosqx . (2.30)
В последних двух разложениях 
|cosqx| £ 1 и потому Rn(x) по абсолютной величине не превосходит 
(в формуле (2.29)) или 
(в формуле (2.30)).
Пример 2. Вычислить приближенно sin200 с точностью до 0,0001.
Решение. Воспользуемся формулой (2.29), положив x = 200 = 
радиан и взяв 2 члена разложения: sin
» – 
×
= 0,3420, |Rn| £ 
×£ 0,0001.
Задания для самостоятельной работы.
Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = cosx (формулу (2.30)).
Вывести формулу Маклорена для функции f (x) = ln(1+ x).
Вычислить приближенно cos400 и оценить погрешность вычисления, взяв два слагаемых в формуле (2.30).
В следующих разделах мы будем изучать с помощью производных поведение функций. В разд. 2.9 (следствие из теоремы Лагранжа) мы говорили о том, что если производная (x) = 0 на некотором интервале, то функция f(x) постоянна на этом интервале. Теперь будем изучать другие свойства функции.