При исследовании функции часто приходится устанавливать вид ее графика (а, значит, и характер функции) при неограниченном удалении точки графика от начала координат (при стремлении переменной точки в бесконечность). При этом важным случаем является тот, когда график функции при удалении его переменной точки в бесконечность неограниченно приближается к некоторой прямой.
Асимптотой графика функции y = f(x) называется такая прямая, что расстояние от переменной точки M на графике до этой прямой стремится к нулю при удалении точки M в бесконечность (рис. 2.17, 2.18).
С примерами асимптот мы встречались при изучении пределов функции (глава 1). Напомним, что если 
f (x) = b, то прямая y = b является асимптотой графика y = f(x) (при x ® +¥), эта асимптота параллельна оси Ox и называется горизонтальной асимптотой (см. рис. 2.18). Аналогично, прямая y = b является асимптотой графика y = f(x) при x ® -¥, если 
f (x) = b (рис. 2.17).
Рассмотрим асимптоты, параллельные оси Oy. Они называются вертикальными асимптотами.
Пусть для функции f (x): 
f(x) = ¥ или 
f(x) = ¥, тогда из определения асимптоты следует, что прямая x = x0 — асимптота. Очевидно и обратное, если прямая x = x0 является асимптотой, то хотя бы один из пределов, f(x), f(x), является бесконечным (см. рис. 2.19, 2.20).
Следовательно, для отыскания вертикальных асимптот нужно найти такие значения x0, односторонние пределы в которых равны бесконечности.
Пример 1. Найти вертикальные асимптоты для графика функции y =
.
Решение. Функция f(x) = определена и непрерывна во всех точках числовой оси, за исключением точки x0 = 2, в которой функция терпит разрыв, 
= –¥, 
= +¥. Следовательно, прямая x = 2 является вертикальной асимптотой для графика y =. Кроме того, 
= 0 и 
= 0, следовательно, прямая y = 0 является горизонтальной асимптотой при x ® +¥ и при x ® -¥ (см. рис. 2.21).
Рассмотрим асимптоты, которые не параллельны оси Oy, будем называть их наклонными асимптотами. Пусть график функции y = f(x) имеет наклонную асимптоту при x ® +¥, тогда ее уравнение имеет вид y = kx + b. Определим числа k и b.
Опустим из точки M(x, f(x)) графика функции перпендикуляр MN на асимптоту (см. рис. 2.22). Из определения асимптоты следует, что при x ® +¥ длина MN ® 0 (MN = 0). Из DMNK имеем MK =
, где a – угол наклона асимптоты к оси Ox, поэтому cosa –постоянная величина. Значит, MK = 0. Так как MK = |AK – AM|, AK = kx + b, то MK = |kx + b – f(x)|, следовательно,
(f(x) – kx – b) = 0. (2.31)
Итак, если прямая y = kx + b является асимптотой графика функции y = f (x), то выполняется равенство (2.31) и наоборот, если при постоянных числах k, b выполняется
равенство (2.31), то прямая y = kx + b является асимптотой. Из равенства (2.31), разделив бесконечно малую функцию (f(x) – kx – b) на x (а x ® +¥), получим:
= 0, (2.32)
отсюда угловой коэффициент асимптоты:
. (2.33)
Определим коэффициент b из равенства (2.31), подставив в это равенство значение k:
b = 
(f(x) – kx). (2.34)
Итак, если прямая y = kx + b является асимптотой графика y = f(x), то k, b находятся по формулам (2.33), (2.34). Обратно, если существуют пределы (2.33), (2.34), то прямая y = kx + b есть асимптота. Если хотя бы один из пределов (2.33), (2.34) не существует, то при x ® +¥ кривая не имеет асимптоты.
Аналогично решается вопрос об асимптотах при x ® -¥. Заметим, что отдельно находить горизонтальные асимптоты нет надобности, они будут найдены при нахождении наклонных асимптот (при k = 0).
Пример 2. Найти асимптоты линии y = ex – x.
Решение. Функция f (x) = ex – x определена, непрерывна на бесконечном интервале (–¥, +¥), поэтому вертикальных асимптот нет.
Найдем наклонные асимптоты, для этого вычислим пределы (2.33), (2.34) при x ® +¥, x ® -¥:
= (
– 1) = ¥,
так как = ¥ (проверьте это по правилу Лопиталя). Отсюда следует, что при x ® +¥ наклонных асимптот нет:
= ( – 1) = –1, так как = 0,
отсюда k = –1. Далее, (f(x) – kx) = (ex – x + x) = ex = 0, значит, b = 0.