Из определения неопределенного интеграла непосредственно вытекают следующие его свойства.

1^о. Если функция  имеет первообразную, то производная  неопределенного интеграла равна подынтегральной функции; дифференциал от неопределенного интеграла  равен подынтегральному выражению, т. е.

Действительно,  дифференцируя левую и правую части равенства

получаем для первого:

.

Для второго же:   по определению дифференциала и свойству  первому имеем

.■

2^о. Если  дифференцируемая функция, то

Докажите самостоятельно.

3^о. Если функция  имеет первообразную и  то функция  также имеет первообразную, причем верно равенство

Т. е. постоянный множитель можно вынести из-под знака интеграла.

В самом деле, обозначим  , найдем производную этой функции:

.

По  следствию из теоремы Лагранжа (вспоминали при доказательстве теоремы 1.1) найдется такое число , что  и значит . Так как неопределенный интеграл находится с точностью до постоянного слагаемого, то константу  можно опустить.■

4^о. Если функции  и  имеют первообразные на некотором промежутке, то функция  также имеет первообразную на этом промежутке, причем

Докажите самостоятельно, если не  смогли, вернитесь к определению интеграла и доказательству свойства 3^о.