По способу получения математические модели делят на теоретические и эмпирические. Первые получают в результате изучения свойств технического объекта и протекающих в нем процессов, а вторые являются итогом обработки результатов наблюдения внешних проявлений этих свойств и процессов. Один из способов построения эмпирических ММ заключается в проведении экспериментальных исследований, связанных с измерением фазовых переменных ТО, и в последующем обобщении результатов этих измерений в алгоритмической форме или в виде аналитических зависимостей. Поэтому эмпирическая ММ по форме представления может содержать признаки как алгоритмической, так и аналитической математической модели. Таким образом, построение эмпирической ММ сводится к решению задачи идентификации.
При построении теоретических ММ прежде всего стремятся использовать известные фундаментальные законы сохранения таких субстанций, как масса, электрический заряд, энергия, количество движения и момент количества движения. Кроме того, привлекают определяющие соотношения (называемые также уравнениями состояния), в роли которых могут выступать так называемые феноменологические законы (например, уравнение Клайперона-Менделеева состояния идеального газа, закон Ома о связи силы тока в проводнике и падения электрического напряжения, закон Гука о связи деформации и механического напряжения в линейно упругом материале, закон Фурье о связи градиента температуры в теле с плотностью теплового потока и т.п.).
Сочетание теоретических соображений качественного характера с обработкой результатов наблюдения внешних проявлений свойств изучаемого ТО приводит к смешанному типу ММ, называемых полуэмпирическими. При построении таких ММ используют основные положения теории размерностей, в том числе так называемую П-теорему (Пи-теорему): если между n параметрами, характеризующими изучаемый объект, существует зависимость, имеющая физический смысл, то эту зависимость можно представить в виде зависимости между их безразмерными комбинациями 
, где k – число независимых единиц измерения, через которые можно выразить размерности этих параметров. При этом 
определяет число независимых (не выражаемых друг через друга) безразмерных комбинаций, обычно называемых критериями подобия.
Объекты, для которых равны значения соответствующих критериев подобия, считают подобными. Например, любой треугольник однозначно определен длинами а, b и с его сторон, т.е. n = 3, a k = 1. Поэтому, согласно П-теореме, множество подобных треугольников можно задать значениями 
критериев подобия.
В качестве таких критериев можно выбрать безразмерные отношения длин сторон: b/а и с/а или любые два других независимых отношения. Так как углы треугольника однозначно связаны с отношениями сторон и являются безразмерными величинами, то множество подобных треугольников можно определить равенством двух соответствующих углов или равенством угла и отношения длин прилегающих к нему сторон. Все перечисленные варианты соответствуют известным признакам подобия треугольников.
Для успешного применения П-теоремы к построению моделей ТО необходимо располагать полным набором параметров, описывающих изучаемый объект, причем выбор этих параметров должен опираться на аргументированный качественный анализ тех свойств и особенностей ТО, влияние которых существенно в данном конкретном случае. Отметим, что такой анализ необходим при любом способе построения ММ.
Рис. 2.3 Математический маятник
Пример 1
Рассмотрим хорошо известную расчетную схему математического маятника (рис. 2.3) в виде материальной точки массой m, подвешенной на невесомом стержне постоянной длины l, который может свободно вращаться относительно горизонтальной оси, проходящей через точку О. Отклонение маятника на угол φ0 от его вертикального положения равновесия приведет к возрастанию потенциальной энергии материальной точки на величину:
,
где g – ускорение свободного падения. Если после отклонения маятник начнет движение, то при отсутствии сопротивления он в силу закона сохранения энергии будет
совершать незатухающие колебания относительно положения равновесия (см. рис. 2.3, точка А). При прохождении положения равновесия скорость (v) материальной точки является наибольшей по абсолютной величине, поскольку в этом положении кинетическая энергия этой точки равна:
,
так что
.
Пусть необходимо установить зависимость периода колебаний (Т) маятника (т.е. наименьшего промежутка времени, через который маятник возвращается в некоторое фиксированное положение, не совпадающее с положением равновесия) от параметров m, l, φ0 и g (параметр v следует исключить из рассмотрения, поскольку его удалось выразить через указанные параметры). Размерности четырех указанных параметров и периода (Т) колебаний можно выразить через k = 3 независимые стандартные единицы физических величин:
[Т] = с; [m] = кг [l] = м; [φ0] = 0 и [g] = м/с2.
Поэтому в силу П-теоремы из n = 5 параметров можно составить 
безразмерные комбинации, причем угол φ0, будучи безразмерным, является одной из них. Во вторую безразмерную комбинацию не удается включить массу (m) материальной точки, поскольку единица массы (кг) входит лишь в размерность массы. Следовательно, величина m не является аргументом искомой зависимости, что можно установить и при построении теоретической ММ рассматриваемого маятника.
После исключения параметра m имеем n = 4 и k = 2, т.е. снова 
, так что наряду с безразмерным параметром φ0 остальные параметры образуют лишь одну независимую безразмерную комбинацию, которую можно представить в виде 
.
Таким образом, согласно П-теореме, искомую зависимость можно искать в виде
или 
, (2.3)
где 
– некоторая функция угла φ0.
Установить вид этой функции в рамках теории размерностей нельзя. Для этого необходимо либо провести эксперимент и обработать его результаты в соответствии с первым равенством (2.3), выявив функциональную зависимость безразмерной комбинации от φ0, либо воспользоваться теоретической ММ, которая
представляет функцию f в виде полного эллиптического интеграла первого рода. Но даже при неизвестных функциях f (или F) при помощи выражений (2.3) можно получить полезные результаты. Например, если известно значение периода (Т) колебаний для некоторого маятника длиной l при фиксированных значениях g и φ0, то для маятника длиной l1 период колебаний будет равен:
.
Из соображений симметрии (см. рис. 2.3) значение периода колебаний не должно зависеть от знака угла φ0 первоначального отклонения маятника. Поэтому функция f(φ0) должна быть четной. Предполагая ее дважды непрерывно дифференцируемой в некоторой окрестности точки φ0 = 0 и используя формулу Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа, можно записать:
,
где 
.
Если при φ0→0 ограничиться лишь первым слагаемым в правой части этого равенства, то из выражения (2.3) получим 
.
Таким образом, теория размерностей позволяет установить зависимость для периода бесконечно малых колебаний математического маятника с точностью до постоянного множителя f(0). Соответствующая этому случаю хорошо известная теоретическая ММ приводит к значению f(0) = 2π.
Рис. 2.4 К расчету подъемной силы крыла
Пример 2
К полуэмпирической следует отнести ММ, включающую известную формулу:
(2.4)
для подъемной силы крыла в дозвуковом воздушном потоке, приходящейся на единицу длины размаха крыла. Здесь ρ и v – плотность и скорость набегающего потока; b – так
называемая хорда профиля крыла (рис. 2.4); су(α) – безразмерный коэффициент, зависящий от формы профиля крыла и характеризуемого углом атаки (α) направления набегающего потока).
Угол атаки и параметры, определяющие форму профиля крыла, безразмерны. Поэтому можно рассматривать влияние n = 4 размерных параметра Р, ρ, v и b, размерности которых можно выразить через k = 3 независимые стандартные единицы:
[Р] = Н/м = кг/с2; [ρ] = кг/м3; [v] = м/с; [b] = м,
где Н = 
(ньютон) – производная единица силы. Согласно П-теореме, из этих размерных параметров можно составить лишь одну (
) независимую безразмерную комбинацию, которую запишем в виде:
.
Тогда для конкретной формы профиля крыла получим:
,
где функция f(α) может быть найдена экспериментально путем продувки под различными углами атаки геометрически подобной модели крыла в аэродинамической трубе.
Если безразмерные значения этой функции для фиксированных значений α обозначить через су(α)/2, то придем к формуле (2.4). Таким образом, структура выражения (2.4) не противоречит П-теореме.
Комплекс 
иногда называют динамическим давлением набегающего потока, он равен приращению давления при полном торможении потока, или кинетической энергии единицы объема этого потока. Давление, как и механическое напряжение, измеряют в паскалях (Па = Н/м2). Наряду с выражением (2.4) существует установленная теоретическим путем известная формула Жуковского:
, (2.5)
где Г – циркуляция вектора скорости по контуру, охватывающему профиль крыла.
Теоретическая ММ, содержащая выражение (2.5), казалось бы, более совершенна, чем полуэмпирическая ММ, поскольку в отличие от выражения (2.4) не содержит эмпирического коэффициента cу (α). Однако найти значение Г теоретическим путем удается лишь в редких случаях, часто не представляющих практического интереса, а получить это значение при помощи экспериментальных измерений существенно
сложнее, чем найти значение cу (α). Поэтому полуэмпирическая ММ в данном случае обладает определенным преимуществом перед теоретической ММ по удовлетворению требованию продуктивности.
Пример 3
Пусть поток несжимаемой жидкости обтекает неподвижное твердое тело заданной формы, имеющее характерный размер l и постоянную температуру T0 (рис. 2.5). Скорость v и температура Тж > T0 жидкости на большом (по сравнению с l) расстоянии от тела сохраняют постоянные значения. Необходимо при некотором фиксированном положении тела относительно направления вектора (v) скорости найти количество теплоты (Q), передаваемое в единицу времени от жидкости к телу и называемое тепловым потоком.
Рис. 2.5 К расчету теплового потока
Процесс передачи теплоты локализован у поверхности тела и зависит не только от перечисленных параметров, но и от объемной теплоемкости (с) и коэффициента теплопроводности (λ) жидкости, поскольку эти параметры характеризуют способность жидкости подводить тепловую энергию и передавать ее поверхности тела. Подвод тепловой энергии к телу также зависит от распределения скорости жидкости у его поверхности. В случае идеальной (невязкой) жидкости оно однозначно определено фиксированным положением тела относительно вектора v, а для вязкой жидкости зависит и от соотношения между силами вязкости и инерции, характеризуемого коэффициентом вязкости ν, называемым кинематическим и измеряемым в м2/с.
При сравнительно близких значениях Тж и Т0 естественно предположить, что тепловой поток зависит не от каждой из этих температур, а от их разности:
.
Тогда в случае идеальной жидкости имеем n = 6 размерных параметров, размерности которых можно выразить через k = 4 независимые стандартные единицы измерения:
[l] = м; [v] = м/с; [
] = K; 
;
; 
,
где Дж (джоуль) и Вт (ватт) – единицы энергии (работы) и мощности соответственно, а К (кельвин) – единица температуры в абсолютной шкале. В силу П-теоремы из этих параметров можно составить лишь 
независимые безразмерные комбинации, например:
и 
.
В итоге приходим к функциональной зависимости
, (2.6)
установленной в 1915 г. Дж. У. Стреттом.
Отношение 
называют усредненной по площади S поверхности тела плотностью теплового потока и измеряют в Вт/м2. Так как для геометрически подобных тел 
, то зависимость (2.5) можно представить в виде:
; 
(2.7)
где Ki – тепловой критерий Кирпичева и Ре – критерий Пекле. Интенсивность теплообмена на поверхности тела обычно характеризуют усредненным коэффициентом теплоотдачи 
, измеряемым в 
.
Тогда вместо зависимости (2.7) получим:
, (2.8)
где Nu – критерий (число) Нуссельта.
Вид функции f в зависимостях (2.7) – (2.9) нельзя установить в рамках теории размерностей и его приходится определять путем обработки результатов экспериментов, хотя в некоторых простых случаях удается построить и теоретические ММ процесса теплообмена.
В случае вязкой жидкости имеем n = 7 размерных параметров, размерности которых по-прежнему можно выразить, через k = 4 независимые единицы, т.е. число независимых безразмерных комбинаций равно 
. К рассмотренным комбинациям следует добавить любую безразмерную комбинацию, включающую новый параметр 
. Эту комбинацию можно выбрать, например, в виде 
или 
. В первом случае ее называют критерием (числом) Рейнольдса и обозначают Re =, а во втором – критерием (числом) Прандтля и обозначают Pr =. Критерий Прандтля характеризует только свойства жидкости, а критерий Рейнольдса – соотношение между инерционными силами и силами вязкого трения.
В итоге вместо зависимости (2.8) получим:
или 
. (2.9)
Так как Ре = RePr, то в случае вязкой жидкости критерий Нуссельта может быть представлен функцией любых двух из трех аргументов: Ре, Re, Pr.
Ясно, что при наличии трех и более безразмерных комбинаций параметров построение полуэмпирической ММ существенно усложняется. В этом случае обычно выделяют так называемый определяемый критерий (в нашем примере это Ki или Nu), a остальные критерии относят к определяющим и проводят несколько серий экспериментальных измерений для установления функциональной зависимости определяемого критерия от двух или более определяющих, рассматриваемых в качестве аргументов искомой функции (в зависимостях (2.8) это функции f1 или f2).
В каждой серии измерений размерные параметры изменяют таким образом, чтобы изменялось значение лишь одного из определяющих критериев. Тогда обработка результатов такой серии измерений позволяет выявить функциональную зависимость определяемого критерия от одного из аргументов при фиксированных значениях остальных. В итоге в некоторой области изменения значений определяющих критериев удается с некоторой степенью приближения построить искомую функцию, т.е. решить задачу идентификации полуэмпирической ММ.
Отметим, что применение П-теоремы к аналитической ММ, представленной в виде уравнений, позволяет привести эту модель к безразмерной форме и сократить число параметров, характеризующих изучаемый ТО. Это упрощает качественный анализ ММ и позволяет еще до проведения количественного анализа оценить влияние отдельных факторов. Кроме того, безразмерная форма ММ дает возможность представить в более компактном виде результаты ее количественного анализа.