Пусть даны два множества D и E, элементами которых являются комплексные числа. Числа  множества D будем изображать точками комплексной плоскости z, а числа  множества Е – точками комплексной плоскости .

Определение. Если каждому числу (точке)  по некоторому правилу поставлено в соответствие определенное число (точка) , то говорят,  что на множестве определена однозначная функция комплексного переменного , отображающая множество D в множество Е.

Если каждому  соответствует несколько значений w, то функция  называется многозначной.

Множество D называется областью определения функции .

Определение: Множество Е₁ всех значений w, которые  принимает на Е, называется областью значений этой функции (если же каждая точка множества Е является значением функции, то Е – область значений функции; в этом случае  отображает D на Е).

Далее, как правило будем рассматривать такие функции , для которых множества D и Е₁ являются областями. Областью комплексной плоскости называется множество точек плоскости, обладающих свойствами открытости и связанности.

Функцию  можно записать в виде

.

то есть

,

где

.

Функцию  при этом называют действительной частью функции , а функцию  – мнимой частью.

Определим основные элементарные функции комплексного переменного :

· показательную;

· логарифмическую;

· степенную;

· тригонометрическую;

· гиперболическую;

· обратные тригонометрическую и гиперболическую.

Показательная функция  определяется формулой:

.                                            (2.31)

Положив в равенстве (2.31) , устанавливаем, что для действительных значений показательная функция совпадает с показательной функцией действительного переменного:

.

Положив в равенстве (2.31) получим классическую формулу Эйлера:

C ее помощью, в частности, можно представить тригонометрическую форму комплексного числа  в более компактной форме:

,

называемой показательной формой комплексного числа.

Логарифмическая функция  определяется как функция, обратная показательной. Число w называют логарифмом числа , если . Логарифмическая функция  обозначается:  Так как значения показательной функции  всегда отличны от нуля, то логарифмическая функция  определена на всей плоскости z, кроме точки .

Положив

согласно определению логарифмической функции получим:

.

Отсюда имеем:

,

то есть

Следовательно,

          (2.32)

Формула (2.32) показывает, что логарифмическая функция комплексного переменного имеет бесчисленное множество значений, т.е.  – многозначная функция.

Однозначную ветвь этой функции можно выделить, подставив в формулу (2.32) определенное значение k. Положив , получим однозначную функцию, которую называют главным значением логарифма и обозначают символом

,                                               (2.33)

где

Если z – действительное положительное число, то

 и ,

т.е. главное значение логарифма действительного положительного числа совпадает с обычным натуральным логарифмом этого числа.

Формулу (2.32) можно переписать так:

Если n – натуральное число, то степенная функция определяется равенством

Функция  однозначная. Если , то в этом случае

где

Тригонометрические функции комплексного аргумента  определяются равенствами:

Тригонометрические функции комплексного переменного сохраняют многие свойства тригонометрических функций действительного переменного. В частности,

и т.д

Отметим, что тригонометрические функции  sinz и cosz в комплексной плоскости z неограничены:

Гиперболические функции  определяются равенствами:

Легко заметить связь между гиперболическими и тригонометрическими функциями. Заменяя в указанных функциях z на iz, получим:

Пользуясь этими равенствами, можно получить ряд формул, связывающих гиперболические функции.

Обратные тригонометрические и гиперболические функции. Число w называется арксинусом числа z, если и обозначается

Функция  многозначна. Можно показать, что

Обратные гиперболические функции имеют следующие выражения:

Все эти функции бесконечнозначны.