Определение. Производной однозначной функции комплексного переменного называется предел отношения
, если
любым способом стремится к нулю. Таким образом:
Функцию, имеющую производную, называют дифференцируемой (моногенной) при заданном значении z.
Пусть дифференцируема в точке
, тогда в этой точке существуют частные производные
причем эти производные связаны условиями:
Данные условия называются условиями Эйлера-Даламбера.
Условия Эйлера-Даламбера являются необходимыми условиями дифференцируемости функции в точке
.
Производная функции выражается через частные производные функций
по формулам:
Производные элементарных функций и т.д. находятся по тем же формулам, что и производные от функции действительного аргумента.
Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции.
Определение. Однозначная функция называется аналитической в точке z, если она дифференцируема в некоторой окрестности этой точки. Функция
называется аналитической в области D, если она дифференцируема в каждой точке
.
Точки плоскости z, в которых однозначная функция аналитична, называют правильными точками
. Точки, в которых функция
не является аналитической, называют особыми точками этой функции.
Пусть аналитична в точке z. Тогда
Отсюда следует, что
где
Тогда приращение функции можно записать так:
.
Если то первое слагаемое
в последнем выражении при
является бесконечно малой того же порядка, что и
; второе слагаемое
есть бесконечно малая более высокого порядка, чем
Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции
.
Определение. Дифференциалом аналитической функции
в точке z называется главная часть ее приращения, т.е.
или
.
Отсюда следует, что:
,
т.е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.
Замечание. Если функция аналитична в некоторой области D, то функции
удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа.
Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбера по , а второе по
, получаем:
откуда:
.
Функции являются гармоническими функциями.
Пример 1
Проверить, является ли функция аналитической. Найти её производную.
Решение
Находим действительную и мнимую
части функции:
.
Таким образом,
.
Проверяем условия Эйлера-Даламбера:
.
Условия выполняются во всех точках комплексной плоскости z. Функция дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости.
Её производную найдем по формуле:
т.е.
.
Заметим, что производную функции можно найти, воспользовавшись определением производной:
.
Ответ: .
Пример 2
Найти аналитическую функцию по её заданной действительной части
.
Решение
Отметим, что функция является гармонической функцией.
Для определения мнимой части воспользуемся условиями Эйлера-Даламбера. Так как
то, согласно первому условию
Отсюда, интегрируя последнее выражение по , находим:
Для определения функции воспользуемся вторым условием Эйлера-Даламбера. Так как:
то
Отсюда
и
,
где
Поэтому
.
Находим функцию :
Ответ: