Используя теорему 5  (разд. 2.3) докажем следующие формулы:

1)  ;

2)  ;

3)  ;

4)  .

1. Если xÎ[–1, 1], yÎ[–p/2, p/2], то функции  y = arcsinx,  x = siny  являются взаимно обратными, причем  = (siny)‘ = cosy.  Если  –p/2 < y < p/2  (при этом –1 < x < 1), то cosy > 0, поэтому .

По теореме 5 (разд. 2.3) имеем:  тогда

  (–1 < x < 1).

2. Функции y = arccosx, x = cosy взаимно обратны, если xÎ[–1, 1],  yÎ[0, p],  = (cosy)‘ = –siny. Если 0 < y < p (при этом –1 < x < 1), то siny > 0, поэтому

.

Так как  то

      (–1 < x < 1).

3. Функции y = arctgx, x = tgy  взаимно обратны, если yÎ(–p/2, p/2), a xÎR. Используя равенство , получаем:

      xÎR.

4. Для  y Î (0, p) функции  y = arсctgx,  x = сtgy  взаимно обратны,  = –(1 + ctg²y) = –(1 + x²), поэтому

    xÎR.

Итак, мы вывели формулы производных для обратных тригонометрических функций.

Введем понятия гиперболических функций, имеющих применение в математике и ее приложениях:

гиперболический синус                                            

гиперболический косинус                                         

гиперболический тангенс                                         

гиперболический котангенс                                    .

Для гиперболических функций справедливы тождества:

    ch²x – sh²x =1. (Проверьте это!).

Найдем производные для гиперболических функций, при этом напомним, что (e^–x)‘ = e^–x×(–1) = –e^–x (как производная сложной функции):

Итак, (shx)‘ = chx.

Аналогично доказывается, что (chx)‘ = shx.

Так как ch²x – sh²x =1, то получаем: 

Аналогично можно показать, что