Пусть переменные x, y связаны между собой некоторым уравнением

 F(x, y) = 0,                                                            (2.1)

причем y является функцией от x, тогда говорят, что функция y задана неявно уравнением (2.1).

Например, уравнение y³  – 5x² – 3x = 0 задает неявно функцию y, которую можно из этого уравнения выразить через x явно:  y = .

Уравнение x² + y² = a² неявно задает две функции:

y =  и  y = –.

Однако не всегда, функции, заданные неявно могут быть выражены явно через элементарные функции. Так, из уравнения y + x = 2siny, которое неявно задает функцию y, нельзя выразить y явно через элементарные функции.

Как найти y’ для функции, заданной неявно, уравнением (2.1)? Для этого надо найти производные по x от обеих частей этого уравнения, помня, что y – функция от x и приравнять эти производные. Из полученного уравнения найти y’.

Например, найдем y’ для функции, заданной неявно уравнением x² + y² = a²:

(x² + y² = (a²,   2x + 2y×y’ = 0,

отсюда  y’ = –.

Применим этот метод для нахождения производной для показательно-степенной функции y = u(x)^v(x), где u(x) > 0, u(x), v(x) – дифференцируемые функции.

Прологарифмируем равенство y = u^v, получим: lny = v×lnu. Дифференцируем полученное равенство:  y’ = v’×lnu + v××u’,  откуда  y’ = y(v’×lnu + v××u’),  подставляя сюда    y = u^v,   имеем:    y’ = u^v×lnu×v’+ v×u^v–1×u’.

Этот прием нахождения производной называется логарифмическим дифференцированием.

Пример. y = x^sinx, (x > 0).  Найти y’.

Решение. lny = sinx×lnx,   (lny)‘ = (sinx×lnx)‘,  ×y’ = cosx×lnx + sinx×,  y’ = x^sinx(cosx×lnx + sinx×)    или    y’ = x^sinxcosx×lnx + sinx×x^{sinx – 1}.