2.6. Интегрирование заменой переменной (подстановкой)

Во многих случаях введение новой переменной  интегрирования позволяет свести нахождение  данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т. е. перейти к непосредственному  интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема 2.2 Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество  значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если на множестве Х функция  имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

Доказательство: Найдем производные по переменной от обеих частей равенства:

,

(смотри свойство 1 неопределенного интеграла).

 Так как , то эти производные равны, поэтому по следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы  определены с точностью до константы, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить.■

Функцию  стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть этой формулы приобрела более удобный для интегрирования вид. Когда же интеграл относительно новой переменной t вычислен, с помощью обратной подстановки  возвращаются к переменной x.

Пример 2.8. Вычислить интеграл , сделав замену переменной.

Решение. Положим  тогда  таким образом

Пример 2.9. Вычислить

Решение. 

 

Примеры 2.5, 2.6, 2.7  можно решить, сделав замену переменной. Однако не всегда сразу видно какую замену надо сделать.

Пример 2.. Найти интеграл

Решение. 

Пример 2.. Найти интеграл 

Решение.   

Пример 2.. Найти интеграл   

Решение.