2.6. Интегрирование заменой переменной (подстановкой)

Естественные науки / Математика. Функции нескольких переменных и интегральное исчисление функции одной переменной / 2.6. Интегрирование заменой переменной (подстановкой)

Во многих случаях введение новой переменной интегрирования позволяет свести нахождение данного интеграла к нахождению табличного интеграла, т. е. перейти к непосредственному интегрированию. Такой метод называется методом подстановки или методом замены переменной. Он основан на следующей теореме.

Теорема 2.2 Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке Т и пусть Х – множество значений этой функции, на котором определена функция . Тогда, если на множестве Х функция имеет первообразную, то на множестве Т справедлива формула

Доказательство: Найдем производные по переменной от обеих частей равенства:

(смотри свойство 1 неопределенного интеграла).

Так как , то эти производные равны, поэтому по следствию из теоремы Лагранжа левая и правая части отличаются на некоторую постоянную. Поскольку сами неопределенные интегралы определены с точностью до константы, то указанную постоянную в окончательной записи можно опустить.■

Функцию стараются выбирать таким образом, чтобы правая часть этой формулы приобрела более удобный для интегрирования вид. Когда же интеграл относительно новой переменной t вычислен, с помощью обратной подстановки возвращаются к переменной x.