Определение. Многочленом степени 
называется выражение вида
, где 
,
,…,
- действительные числа, 
,
.
Определение. Дробь вида 
, где 
и 
– многочлены n-ой и m-ой степеней соответственно, называется рациональной дробью.
Определение. Рациональная дробь называется правильной, если 
и неправильной, если 
.
Всякую неправильную рациональную дробь можно представить в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби, поделив числитель на знаменатель. Поэтому интегрирование рациональных дробей сводится к интегрированию правильных рациональных дробей. А каждая правильная рациональная дробь представима в виде элементарных (простейших) рациональных дробей, т.е. дробей вида
а их интегрирование производится следующим образом:
1) 
2) 
.
3) 
т.е. интеграл от элементарной рациональной дроби выражается через рациональные функции, логарифмы и арктангенсы.
Пример 2.13. Вычислить интеграл 
Решение. Подынтегральная функция 
– неправильная рациональная дробь.
Разделим многочлен 
на многочлен 
столбиком 
получим частное 
и остаток 
, т.е. данная дробь представима в виде многочлена и правильной рациональной дроби:
Разложим многочлен 
на множители. Он имеет действительный корень 
. Разделив на 
, получим
Квадратный трехчлен 
не имеет действительных корней, поэтому разложение, полученной правильной рациональной дроби, на элементарные дроби имеет вид
Методом неопределенных коэффициентов найдем А, М, N. Из равенства дробей следует равенство числителей
,
а многочлены равны, когда равны коэффициенты при одинаковых степенях
Решая систему, найдем 
таким образом
и, следовательно,
Пример 2.14. Вычислить 
Решение. Разложим на простейшие дроби подынтегральную функцию, так как 
то 
Методом неопределенных коэффициентов найдем А и В
.
Пусть 
, тогда 
пусть 
тогда 
Пример 2.15. Вычислить 
Решение. Знаменатель имеет двукратный корень 
и простой корень 
В этом случае разложение подынтегральной функции на простейшие дроби имеет вид
откуда 
или
сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях 
, получим систему
откуда находим 
следовательно
