Пусть функция f(x) определена и дифференцируема на некотором промежутке X, тогда ее производная (x) также является функцией от x на этом промежутке. Если (x) имеет производную на промежутке X, то эта производная называется производной второго порядка функции y = f(x) и обозначается: y» или (x).

Итак, (x) = ((x))‘.

Производная от производной второго порядка называется производной третьего порядка и обозначается: y»’ или (x).

Вообще, производной n-го порядка называется производная от производной (n – 1)-го порядка и обозначается: y⁽ⁿ⁾ или f ⁽ⁿ⁾(x). Итак, f ⁽ⁿ⁾(x) = (f ^(n-1)(x))‘.

Производные y», y»’, … называются производными высших порядков.

Пример 1. f (x) = . Найти (x) и (4).

Решение.  =  =, (x) = –, (x) = = ,

(4) = = = .

Пример 2. Найти производную n-го порядка для функции y = e^3x.

Решение. y’ = 3e^3x, y» = 3× 3e^3x = 3²e^3x, y»’ = 3³e^3x.

По аналогии находим: y⁽ⁿ⁾ = 3ⁿe^3x.

Рассмотрим механический смысл второй производной.

Пусть путь S, пройденный телом по прямой за время t, выражается формулой S = f(t). Известно, что при этом скорость V в момент времени t равна производной от пути по времени: V = . В момент времени t + Dt скорость получит приращение

DV = V(t + Dt) – V(t).

Отношение называется средним ускорением за время Dt. Ускорением a в данный момент времени называется предел среднего ускорения, когда Dt ® 0:

a = , т.е. a = V’(t) = (S(t))‘ = S»(t).

Следовательно, ускорение при прямолинейном движении равно второй производной от пути по времени: a = S»(t).

Перейдем к рассмотрению дифференциалов высших порядков.

Пусть y = f(x), xÎX. Дифференциал этой функции y = f’(x)dx является функцией от x (если x – не фиксированное число), dx – приращение аргумента x, оно не зависит от x.

Дифференциал от дифференциала функции называется дифференциалом второго порядка и обозначается d²y или d²f(x).

Итак, d²y = d(dy), но dy= dx, поэтому

d²y = d(dx) = (dx)dx = (dx)².

Будем вместо (dx)² писать dx².

Дифференциалом третьего порядка называется дифференциал от дифференциала второго порядка и обозначается d³y или d³f(x):

d³y = d(d²y) = d(dx²) = dx³ и т.д.

Дифференциалом n-го порядка называется дифференциал от дифференциала (n – 1)-го порядка dⁿy = d(d^{n – 1}y) = d(f ^{(n – 1)}(x)dx^{n – 1}) = f ⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ.

Итак, dⁿy = f ⁽ⁿ⁾(x)dxⁿ. Отсюда f ⁽ⁿ⁾(x) =  .

Заметим, что выражение производной через отношение дифференциалов часто бывает удобно, поэтому оно широко используется. Так, вместо  будем писать: , вместо  пишем: .

Пример 3. Найти d³y для функции y = cos²x.

Решение. d³y = y»’dx³. Вычислим   y»’, находя последовательно  y’,  y»,  y»’:

y’ = (cos²x)‘ = –2cosxsinx = –sin2x,  y» = (–sin2x)‘ = –2cos2x,  y»’ = 4sin2x.

Следовательно,   d³y = 4sin2xdx³.

Рассмотрим нахождение производных высших порядков для функций, заданных параметрически и неявно.

Пусть функция y, зависящая от x, задана параметрически уравнениями

 ,  tÎT

(T – некоторый промежуток).

Найдем . Известно, что =  =  (разд.2.6), поэтому

=  = = = .

Аналогично будут вычисляться и т.д.

Пример 4. Функция y от x задана параметрически уравнениями:

  ,   0£ t £ p.

Найти .

Решение.   =  = = = –tgt;

= = = -= .

Нахождение производных высших порядков от функций, заданных неявно, рассмотрим на примере.

Пример 5. Найти ,  для функции, заданной неявно уравнением: e^y + xy = e.   Вычислить y’(0),   y»(0).

Решение. Найдем сначала y’, как описано в в разд. 2.5:

(e^y + xy)‘ = (e)‘,  e^y×y’ + y + xy’ = 0,   y’(e^y + x) = –y,  y’ = –.

Для нахождения y» будем дифференцировать равенство e^y×y’ + y + xy’ = 0, получим:

e^y×(y’)² + e^y×y» + y’ + y’ + xy» = 0, отсюда найдем y», затем подставим найденное значение y’:    y»(e^y + x) = –e^y×(y’)² – 2y’,

y» = –= =  =

= .

Итак, y’ = –,  y» = . Подставим x = 0 в исходное уравнение  e^y + xy = e,   получим:    e^y + 0×y = e,  откуда    y = 1,   значит,

y(0) = 1;       y’(0) = –;        y»(0) =  = .