Рассмотрение метода хорд позволяет предположить, что итерации станут приближаться к корню ещё быстрее, если мы будем выбирать касательную вместо секущей не только на первом, а на каждом шаге. Ясно, что тогда формула итераций будет иметь вид:

                                                     (3.4)

Этот метод называется методом касательных, или методом Ньютона. Действительно, сходимость метода Ньютона выше, чем  общего метода итераций (скорость сходимости приближений в котором, напомним, та же, что у геометрической прогрессии со знаменателем  при ).

Поскольку для метода Ньютона:

                                                     (3.5)

то

                                           (3.6)

В точке  получаем , так как .

Таким образом, при использовании метода касательных график  пересекает прямую  в точности по горизонтали, что приводит к очень быстрой сходимости итераций к . Оценка метода производится по формуле:

                          (3.7)

где c – некоторая постоянная (не зависящая от i).

Если начальное приближение  взято достаточно близко от корня , то можно взять:

При  оценке метода Ньютона с методом итераций получим:

.

Постоянная   заменяется в оценке метода Ньютона (3.7) на стремящуюся к 0 величину ; отсюда и высокая скорость сходимости.

Скорость сходимости итераций, которая задаётся формулой (3.7), называется квадратичной. Квадратичная скорость сходимости означает, примерно говоря, что число верных знаков в приближённом значении  удваивается с каждой итерацией. Действительно, если:

,      и            ,

то

 .

Это и означает, что число верных знаков при переходе к следующему приближению возросло с n до 2n, то есть удвоилось.

Геометрический смысл метода Ньютона состоит в том, что на каждом шаге мы строим касательную к графику y = f(x) (рис. 3.7) в точке очередного последовательного приближения , а за следующее приближение  берём точку пересечения этой касательной с осью Ox.

Таким образом, наклон прямой подстраивается на каждом шаге наилучшим образом (ведь кривизну графика, связанную с второй производной, мы не учитываем, и поэтому неизвестно, в какую сторону от касательной отклонится график).

Заметим, что по-другому идею метода Ньютона мы можем описать так: на каждом шаге вместо исходного уравнения   мы решаем приближённое линеаризованное в точке  уравнение:

в котором левая часть – это многочлен Тейлора первого порядка для функции f(x) в точке , то есть линейная функция

.

Решением линеаризованного уравнения  служит следующее приближение , в то время как решением исходного точного уравнения  служит искомый корень .