1^о. Для любого фиксированного разбиения  и для любого  точки на отрезках  можно выбрать так, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам . Точки можно выбрать также и таким образом, что интегральная сумма будет удовлетворять неравенствам .

Доказательство. Пусть - некоторое фиксированное разбиение отрезка . Докажем, например, неравенства  . Согласно свойству точной верхней грани  для  данного  на  можно указать такую точку , что

Умножая это неравенство на  и затем складывая, получаем . Аналогично устанавливаются неравенства .■

2^о. От добавления к данному разбиению  отрезка  новых точек разбиения нижняя сумма Дарбу не уменьшается, а верхняя – не увеличивается.

Доказательство. Для доказательства достаточно ограничиться добавлением к данному разбиению  еще одной точки разбиения , так как добавление нескольких точек разбиения можно провести, добавляя их по одной. Предположим, что эта новая

точка  попала на отрезок (рис. 3.4). Обозначим соответственно через  и -

Рис. 3.4. Иллюстрация к доказательству

нижние, а через  и  — верхние суммы Дарбу для данного разбиения  и полученного из него добавлением точки разбиения .

Проведем доказательство для нижних сумм Дарбу  и . Обозначим через  и точные нижние грани функции  соответственно на отрезках  и . В сумму входит слагаемое , а в сумму  вместо него слагаемые . Остальные слагаемые в суммах  и  одинаковы. Так как  (точная нижняя грань на частях  не меньше точной  нижней грани на всем ), то

.

Отсюда следует, что .

Аналогично доказывается, что .■

3^о.  Нижняя сумма Дарбу для любого разбиения  не превосходит верхней суммы для любого другого разбиения т".

                _{Доказательство. Пусть  и ,  и - нижняя и верхняя суммы Дарбу соответственно для разбиений  и . Рассмотрим разбиение , состоящее из всех точек, входящих в разбиения  и . Обозначим его суммы Дарбу через  и . Так как разбиение  может быть  получено из разбиения  добавлением к нему точек разбиения , то согласно свойству 2о, учитывая очевидное неравенство, получаем} 

_.

_{Но разбиение  может быть также получено из разбиения  добавлением точек разбиения . Поэтому} 

.

Сравнивая установленные неравенства, получаем  .■

4^о. Множество  верхних сумм Дарбу данной функции  для всевозможных разбиений отрезка  ограничено снизу, а множество  нижних сумм Дарбу ограничено сверху, причем точная верхняя грань множества  не превосходит точную нижнюю грань множества .

Доказательство. Это свойство непосредственно следует из свойства 3^о. Действительно, множество всех верхних сумм Дарбу  ограничено снизу, например, любой нижней суммой Дарбу , а множество всех нижних сумм Дарбу  ограничено сверху, например, любой верхней суммой Дарбу S. Поэтому по теореме ( Любое непустое ограниченное сверху (снизу) числовое множество имеет точную верхнюю (нижнюю) грань) множества  и  имеют точные грани. Обозначим через   точную нижнюю грань множества , а через  — точную верхнюю грань множества :

,  .

Покажем, что . Пусть . Обозначим их разность через , так что. Из свойства точных граней  и  вытекает, что существуют числа , и , представляющие собой соответственно верхнюю и нижнюю суммы Дарбу некоторых разбиений  и  отрезка , такие, что  и . Вычитая второе неравенство из первого, получаем . Но , поэтому , т. е., что противоречит свойству 3^о. Следовательно,.■