Этот метод численного интегрирования разработан Адамсом в 1855 г. по просьбе известного английского артиллериста Башфорта, занимавшегося внешней баллистикой. Впоследствии этот метод был забыт и вновь открыт в начале XX века норвежским математиком Штермером. Популяризация метода Адамса и дальнейшее его усовершенствование связаны с именем А.Н. Крылова.
Изложим метод Адамса применительно к уравнению первого порядка
(3.12)
с начальным условием
. (3.13)
Пусть 
– система равноотстоящих значений с шагом 
. Очевидно, тогда имеем
(3.14)
В силу второй интерполяционной формулы Ньютона с точностью до разностей четвертого порядка получаем:
(3.15)
где
,
или
Подставляя выражение (3.16) в формулу (3.15) и учитывая, что 
, будем иметь:
Отсюда получаем экстраполяционную формулу Адамса
(3.16)
Для начала процесса нужны четыре начальных значения 
, так называемый начальный отрезок, который определяют, исходя из начального условия (3.13), каким-нибудь численным методом. Можно, например, использовать метод Рунге-Кутта или разложение в ряд Тейлора:
где 
. Зная начальные значения 
, из уравнения (3.12) можно найти значения производных 
и составить таблицу разностей:
(3.17)
Дальнейшие значения 
искомого решения можно шаг за шагом вычислять по формуле Адамса, пополняя по мере необходимости таблицу разностей (3.17).
Для контроля сходимости метода рекомендуется, вычислив первое приближение для 
по формуле
,
определить 
и подсчитать конечные разности:
(3.18)
затем найти второе приближение по более точной формуле:
(3.19)
Если 
и 
отличаются лишь на несколько единиц последнего сохраняемого десятичного разряда, то можно положить 
, а затем, найдя
,
посчитать заново конечные разности (3.18). После этого, строго говоря, следует снова найти по формуле (3.19). Поэтому шаг h должен быть таким, чтобы этот пересчет был излишним.
На практике шаг h выбирают столь малым, чтобы можно было пренебречь выражением 
в формуле (3.19).
Если же расхождение величин и значительно, то следует уменьшить шаг h.
Обычно шаг h уменьшают ровно в два раза. Покажем, как в этом случае, имея до некоторого значения i таблицу величин xj, yj,
с шагом 
, можно просто построить таблицу величин:
с шагом 
Для краткости введем сокращенные обозначения:
На основании формулы (3.15) будем иметь:
(3.20)
где 
. Отсюда, полагая
и учитывая, что
находим
(3.21)
После этого составляем начальный отрезок для таблицы значений 
:
,
и находим конечные разности:
Дальше таблица значений 
продолжается обычным путём, посредством соответствующей модификации формулы (3.16):
.
Для работы на электронных счетных машинах формулу Адамса (3.16) выгодно применять в раскрытом виде. Учитывая, что
.
После приведения подобных членов имеем;
При этом 
.