3.3. Аппроксимация функции

Аппроксимацией (приближением) функции  называется нахождение такой функции  (аппроксимирующей функции), которая была бы близка заданной. Критерии близости функций  и  могут быть различные.

Основная задача аппроксимации построение приближенной (аппроксимирующей) функции, в целом наиболее близко проходящей около данных точек или около данной непрерывной функции. Такая задача возникает при наличии погрешности в исходных данных (в этом случае нецелесообразно проводить функцию точно через все точки, как в интерполяций) или при желании получить упрощенное математическое описание сложной или неизвестной зависимости.

Рис. 3.6 Метод Лагранжа

Концепция аппроксимации

Близость исходной и аппроксимирующей функций определяется числовой мерой

критерием аппроксимации (близости). Наибольшее распространение получил квадратичный критерий, равный сумме квадратов отклонений расчетных значений от "экспериментальных" (т.е. заданных), — критерий близости в заданных точках:

Здесь уi — заданные табличные значения функции; уiрасч — расчетные значения по аппроксимирующей функции; bi — весовые коэффициенты, учитывающие относительную важность i-и точки (увеличение b,. приводит при стремлении уменьшить R к уменьшению, прежде всего отклонения в i-й точке, так как это отклонение искусственно увеличено за счет относительно большого значения весового коэффициента).

Квадратичный критерий обладает рядом "хороших" свойств, таких, как дифференцируемость, обеспечение единственного решения задачи аппроксимации при полиномиальных аппроксимирующих функциях.

Другим распространенным критерием близости является следующий:

Этот критерий менее распространен в связи с аналитическими и вычислительными трудностями, связанными с отсутствием гладкости функции и ее дифференцируемости.

Выделяют две основные задачи:

1)    получение аппроксимирующей функции, описывающей  имеющиеся данные, с погрешностью не хуже заданной;

2)    получение аппроксимирующей функции заданной структуры с наилучшей возможной погрешностью.

Чаще всего первая задача сводится ко второй перебором различных аппроксимирующих функций и последующим выбором наилучшей.

Метод наименьших квадратов

Метод базируется на применении в качестве критерия близости суммы квадратов отклонений заданных и расчетных значений. При заданной структуре аппроксимирующей функции уiрасч(х) необходимо таким образом подобрать параметры этой функции, чтобы получить наименьшее значение критерия близости, т.е. наилучшую аппроксимацию. Рассмотрим путь нахождения этих параметров на примере полиномиальной функции одной переменной:

Запишем выражение критерия аппроксимации при bi =1 (i=1, 2,…, n) для полиномиального уiрасч (х):

Искомые переменные аj можно найти из необходимого условия минимума R по этим переменным, т.е. dR / dар = 0 (для р =0, 1,2,…,k). Продифференцируем по ар (р — текущий индекс):

После очевидных преобразований (сокращение на два, раскрытие скобок, изменение порядка суммирования) получим

Перепишем последние равенства

Получилась система n+1 уравнений с таким же количеством неизвестных аj, причем линейная относительно этих переменных. Эта система называется системой нормальных уравнений. Из ее решения находятся параметры аj аппроксимирующей функции, обеспечивающие minR, т.е. наилучшее возможное квадратичное приближение. Зная коэффициенты, можно (если нужно) вычислить и величину R (например, для сравнения различных аппроксимирующих функций). Следует помнить, что при изменении даже одного значения исходных данных (или пары значений хi, уi, или одного из них) все коэффициенты изменят в общем случае свои значения, так как они полностью определяются исходными данными. Поэтому при повторении аппроксимации с несколько изменившимися данными (например, вследствие погрешностей измерения, помех, влияния неучтенных факторов и т.п.) получится другая аппроксимирующая функция, отличающаяся коэффициентами. Обратим внимание на то, что коэффициенты аj полинома находятся из решения системы уравнений, т.е. они связаны между собой. Это приводит к тому, что если какой-то коэффициент вследствие его малости захочется отбросить, придется пересчитывать заново оставшиеся. Можно рассчитать количественные оценки тесноты связи коэффициентов. Существует специальная теория планирования экспериментов, которая

позволяет обосновать и рассчитать значения хi, используемые для аппроксимации, чтобы получить заданные свойства коэффициентов (несвязанность, минимальная дисперсия коэффициентов и т.д.) или аппроксимирующей функции (равная точность описания реальной зависимости в различных направлениях, минимальная дисперсия предсказания значения функции и т.д.).

Рис. 3.7 Влияние степени аппроксимирующего полинома М на точность аппроксимации

В случае постановки другой задачи — найти аппроксимирующую функцию, обеспечивающую погрешность не хуже заданной, — необходимо подбирать и структуру этой функции. Эта задача значительно сложнее предыдущей (найти параметры аппроксимирующей функции заданной структуры, обеспечивающей наилучшую возможную погрешность) и решается в основном путем перебора различных функций и сравнения получающихся мер близости. Для примера на рис. 3.7 приведены для визуального сравнения исходная и аппроксимирующие функции с различной степенью полинома, т.е. функции с различной структурой. Не следует забывать, что с повышением точности аппроксимации растет и сложность функции (при полиномиальных аппроксимирующих функциях), что делает ее менее удобной при использовании.

Рассмотрим решение задачи аппроксимации и интерполяции с шумом в

программе MathCAD (рисунок 3.8).

Пример 3.1. В ходе проведения эксперимента были получены данные, представленные в таблице 3.1. Необходимо способом наименьших квадратов подобрать для заданных значений x и y квадратичную функцию . Построить на одной координатной плоскости экспериментальные данные и аппроксимирующую функцию.

Таблица 3.1 Данные эксперимента

х

80,5

77,0

70,8

56,7

39,7

29,9

у

281

272

259

224

186

170

Решение. Для определения коэффициентов  квадратичной функции построим дополнительную таблицу 3.2.

Таблица 3.2 Дополнительная таблица

1

80,5

6480,25

521660,13

41993640,0625

281

22620,5

1820950,25

2

77

5929

456533

35153041,0000

272

20944

1612688,00

3

70,8

5012,64

354894,91

25126559,7696

259

18337,2

1298273,76

4

56,7

3214,89

182284,26

10335517,7121

224

12700,8

720135,36

5

39,7

1576,09

62570,773

2484059,6881

186

7384,2

293152,74

6

29,9

894,01

26730,899

799253,8801

170

5083

151981,70

Σ

354,6

23106,88

1604673,972

115892072,1124

1392

87069,7

5897181,81

Строим систему уравнений

В нашем случае она будет иметь вид:

Из полученной системы уравнений находим

Искомая зависимость

Строим график экспериментальных данных и найденной зависимости.

Рис.3.8 Аппроксимация и интерполяция в задаче с помехами

Если требуется построить зависимость в виде показательной функции , то необходимо составить систему:

   (3.7)

Для этого строится таблица

1

n

Σ

Из системы 3.7 находим коэффициенты  и  (необходимо выразить ).

Если требуется построить зависимость в виде степенной функции , то составляется система:

   (3.8)

Для этого строится таблица

1

n

Σ

Из системы 3.8 находим коэффициенты  и  (необходимо выразить ).