Обобщим понятие исчисления L. Отношением на множестве X называется любое подмножество Xn = {(x1,…,xn): xi
X при 1
i
n}.
Определение. Формальная теория Т состоит из четвёрки множеств (,
,
,
), определяемых следующим образом:
1) – произвольное множество, его элементы называются символами, а само
– алфавитом;
2) – множество слов, состоящих из символов, элементы из
называются формулами;
3) – подмножество множества всех формул, элементы которого называются аксиомами;
4) – множество отношений на множестве формул, элементы из
называются правилами вывода.
Формула А называется непосредственным следствием формул F1,F2,…,Fn, если (F1,F2,…,Fn,А) r, для некоторого r
. В этом случае пишут:
Выводом формулы А из формул, принадлежащих r = {X1,X2,…,Xk} называется последовательность формул:
А1, А2,…,Аn = А,
такая, что, для каждого 1 i
n, формула Аi является либо аксиомой, либо Аi
Г, либо Аi – непосредственное следствие некоторых формул Аj
{A1, A2,…,Ai-1}. Если формула А имеет вывод из формул из Г, то она называется выводимой из Г, и этот факт записывается следующим образом:
Г T А .
В этом случае, если Г = Æ , то А называется теоремой теории Т. Выводимость Г T А, в случае Г = {X1,X2,…,Xk}, записывается, как
X1,X2,…,Xk T A.
Если А T В и В
T А, то формулы А и В называются эквивалентными.
Формальные теории Т1 и Т2 называются равносильными, если существует биекция между классами эквивалентности формул теорий Т1 и Т2, осуществляющая биекцию между теоремами теорий Т1 и Т2.
Исчислением высказываний К называется формальная теория, такая, что
· множество символов теории К состоит из символов ,
,
, &, ( , ), и элементов произвольного множества Р,
· множество формул теории К определено по индукции: буквы из Р являются формулами, и для любых А, В
слова
А, (А
В), (А
В), (А&В) являются формулами,
· аксиомами теории К служат аксиомы Клини:
(К1) А(В
А),
(К2) (А(В
С))
((А
В)
(А
С)),
(К3) А&ВА,
(К4) А&ВВ,
(К5) А(В
(А&В)),
(К6) А(А
В),
(К7) В (А
В)
(К8) (АС)
((В
С)
((А
В)
С)),
(К9) (АВ)
((А
В)
А),
(К10) А
А
· правила вывода:
MP
Интерпретацией теории К называется произвольная функция e: {0,1}, удовлетворяющая для всех А,В
соотношениям:
e(A)=
, e(A
B)=e(A)
e(B), e(A&B)=e(A)&e(B), e(A
B)=e(A)
e(B).
Теорема. Исчисления высказываний К и L равносильны как формальные теории.
Доказательство. Установим, что каждая формула из К эквивалентна формуле из L. Верна теорема АА (см. разд.3.3, упражнение). В силу аксиомы (К10) это влечёт эквивалентность формул А и
А. С помощью аксиомы (К5) и правила вывода доказывается А,В
K А&В. Из аксиом (К3) и (К4) получаем: А&В
K А и А&В
K В. В теории L имеет место тавтология:
А(В
(А
В)).
По теореме о полноте существует вывод:
L А
(В
(А
В)).
Из теоремы о дедукции следует выводимость:
А,В L
(А
В).
Применяя аксиомы (К3) и (К4), получаем: А&В K
(А
В). Обратно, из тавтологий
(А
В)
А и
(А
В)
В будем иметь выводы:
(А
В)
L А и
(А
В)
L В.
Следовательно, формула А&В эквивалентна формуле (А
В). Аналогично доказывается эквивалентность формул А
В и
А
В.
Рассмотрим отображение, сопоставляющее каждой формуле из К формулу из L с помощью замены связок: А&В на (А
В), А
В на
А
В. Это преобразование будет переводить эквивалентные формулы из К в эквивалентные формулы из L. Аксиомы (К1) – (К10) превратятся в тавтологии в теории L. По теореме о тавтологии они будут теоремами теории L. Значит, каждая теорема теории К будет переходить в теорему теории L. Поскольку каждая формула теории L является формулой теории К, то это преобразование осуществляет биекцию между классами эквивалентности формул и между теоремами теорий К и L. Теорема доказана.
Следствие. Для исчисления высказываний К справедливы теоремы о дедукции и полноте.