Пример 1. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке 
.
Решение. Найдем критические точки (подозрительные на экстремум) функции из условия, что 
или 
не существует:
,
во всех точках существует, , когда 
.
Раскладывая левую часть на множители, получаем:
,
отсюда находим критические точки: 
, 
, 
.
Из этих точек отрезку 
принадлежат только две: и . Найдем значение функции в этих точках и на концах отрезка, т.е. при 
и 
:
;
;
;
.
Итак, получили 
, 
.
Пример 2. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
на отрезке 
.
Решение. 
, 
определена во всех точках; 
при 
. На отрезке 
при 
.
Имеем три точки: 
, 
, 
, в которых могут достигаться наибольшее и наименьшее значения.
; 
;
.
Итак, 
, 
.
Среди многих применений производной функции одного переменного важное значение имеет решение так называемых задач на максимум (минимум).
Пример 3. Найти прямоугольный треугольник наибольшей площади, у которого сумма катета и гипотенузы равна 
.
Решение. Обозначим один из катетов треугольника через 
, тогда гипотенуза будет равна 
, а другой катет, по теореме Пифагора будет равен:
.
Площадь треугольника 
, так как 
должна быть максимальной, то 
или 
не существует. Находим производную:
.
не существует, если 
, но тогда катет окажется равным гипотенузе, что невозможно. 
, если 
. Тогда 
, гипотенуза будет равна 
; т.е. 
, где 
– угол, прилежащий к катету . Значит, 
; другой угол будет 
. В этой точке:
,
при имеем: 
, значит, это действительно точка максимума.
Искомый треугольник – это прямоугольный треугольник с углами 
, и сторонами 
, 
и 
.
Пример 4. Из трех одинаковых досок изготовить симметричный желоб с наибольшей площадью поперечного сечения.
Решение. Ширину данных досок обозначим через 
. Поперечное сечение изображено на рис. 3. 1.
Обозначим через 
угол 
(
), тогда 
, 
.
Площадь поперечного сечения (площадь трапеции) будет:
.
Наибольшее значение эта функция принимает в точке максимума, а необходимым условием того, что точка является точкой максимума функции 
, является то, что 
или 
не существует. Найдем точку максимума:
,
но 
всегда существует. Точки, в которых , находятся из уравнения: 
. Тогда 
или 
. Если , то 
, но в этом случае никакого желоба не получится, так как . Остается случай, когда , тогда 
, так как .
Проверим, является ли эта точка точкой максимума 
. Найдем 
:
.
Значит, действительно точка максимума:
.