Различные точки области определения описывают уравнения различных типов.

Будем рассматривать область G, во всех точках которой уравнение имеет один и тот же тип. Через каждую точку области проходят две характеристики. Для уравнений гиперболического типа характеристики действительны и различны, для уравнений эллиптического типа – комплексно сопряженные, для уравнений параболического типа – действительны и совпадают между собой.

Пусть  и  – характеристики уравнения гиперболического типа. Полагая

и поделив уравнение (4.5) на коэффициент при  после преобразований, получим уравнение вида:

.                                                (4.9)

Мы получили каноническую форму уравнений гиперболического типа. Уравнения этого типа можно привести и к другой форме. Для этого положим:

;          .

Тогда уравнение (4.9) примет вид:

.

Для уравнений параболического типа уравнения (4.8) совпадают друг с другом, и мы получим один общий интеграл уравнения (4.7):

.

Положим

,

где  – любая, линейно независимая с , функция.

После дальнейших  преобразований получим каноническую форму уравнения параболического типа:

.                                             (4.10)

В случае уравнения эллиптического типа уравнения (4.8) дают интегралы:

,

где  и  – комплексно сопряженные функции.

Чтобы избавится от мнимой составляющей, введем новые переменные:

,

после чего получим каноническую форму уравнения эллиптического типа:

.                                           (4.11)

Если коэффициенты линейного уравнения постоянные, то характеристическое уравнение имеет решение:

;          .

В результате преобразования уравнение (4.3) приводится к одной из форм:

 (эллиптический тип);

 (гиперболический тип);

          (параболический тип).