Рассмотрим вынужденные колебания ограниченной струны под действием внешней силы , рассчитанной на единицу длины, причем концы ее не закреплены, а двигаются по заданному закону. Решение этой  задачи сводится к решению неоднородного волнового уравнения:

при начальных и граничных условиях

 , ;                                         (4.54)

 .                                          (4.55)

К этой задаче нельзя применить метод Фурье, но задача сводиться к задаче  с нулевыми граничными условиями.

Введем вспомогательную функцию:

 ;                                        (4.56)

 , .                                          (4.57)

Будем искать решение в виде суммы двух функций:

 ,                                               (4.58)

где v – пока неизвестная функция.

Очевидно, что в  силу граничных условий (4.55) и (4.57) функция v удовлетворяет нулевым граничным условиям:

 ,            .                                       (4.59)

Начальные условия для функции v:

 ;           (4.60)

 .        (4.61)

Подставим уравнение (4.58) в исходное уравнение, получим:

,

или

 ,                                          (4.62)

где

 .                             (4.63)

Решение задачи нахождения функции v сводится к решению уравнения (4.62) при нулевых граничных условиях (4.59) и начальных условиях (4.60), (4.61).