Перейдем к решению задачи Коши для неоднородного одномерного уравнения теплопроводности (4.65) при начальном условии (4.67). Представим функцию  в виде интеграла Фурье, используя  формулы (4.77) и (4.78):

 ,                            (4.80)

где

 ;     ,          (4.81)

и будем искать решение в виде:

 .                                   (4.82)

Подставляя выражение (4.82) в формулу (4.65), найдем:

Очевидно, последнее равенство будет выполняться, если положить, для всех :

 , .                (4.83)

Далее потребуем, чтобы функция (4.82) удовлетворяла начальному условию (4.67). Для этого нужно, чтобы

,

то есть

, .                (4.84)

Из обыкновенных дифференциальных уравнений (4.83) при начальных условиях (4.84) найдем:

;

.

Подставляя эти выражения в формулу (4.82) и учитывая формулы (4.81), получим искомое решение:

.                           (4.85)

Формула (4.85) показывает, что решение в данном случае является суммой решения однородного уравнения (4.66), удовлетворяющего начальному условию (4.65) и решения неоднородного уравнения (4.65), удовлетворяющего нулевому начальному условию (этот факт имеет место для любых линейных дифференциальных уравнений).

Таким образом, температура в стержне складывается из температуры, которая была бы в момент t в точке x при наличие начальных температур, но при отсутствии источников тепла в стержне, и из температуры, которая была бы при наличие источников тепла, но при нулевой начальной температуре.