На сколько можно сократить или увеличить запасы ресурсов?

Особенно важны два аспекта:

1) На сколько можно увеличить запас некоторого ресурса для увеличения полученного оптимального значения целевой функции ?

2) На сколько можно снизить запас некоторого ресурса при сохранении полученного оптимального значения целевой функции?

Так как величина запаса каждого из ресурсов фиксируется в правых частях ограничений, то решение поставленной задачи, называется анализом на чувствительность к изменениям правой части.

Разобьем все ограничения на связывающие (активные) и несвязывающие (пассивные).

Граничная прямая множества допустимых решений, проходящая через точку оптимального решения называется связывающим ограничением.

В противном случае соответствующее ограничение будет несвязывающим.

В примере 2.1 связывающими ограничениями будут ограничения (1), (2), т.е. те, которые лимитируют запасы исходных ресурсов А и В.

Если некоторое ограничение является связывающим, логично отнести соответствующий ресурс к разряду дефицитных ресурсов, так как он используется полностью.

Связывающему ограничению соответствует дефицитный ресурс.

Несвязывающему ограничению соответствует недефицитный ресурс (имеющийся в избытке).

Таким образом, при анализе определяется:

1) предельно допустимое увеличение запаса дефицитного ресурса, позволяющее улучшить найденное оптимальное решение (первый аспект);

2) предельно допустимое снижение запаса недефицитного ресурса, не изменяющее найденного ранее оптимального значения целевой функции (второй аспект).

Связывающие ограничения

Рассмотрим ресурс А. При увеличении запаса этого ресурса        (рис. 5.1) прямая (1) или отрезок  перемещаются вверх параллельно самой себе в направлении вектора , постепенно «стягиваясь» в точку  – вершину треугольника . Стороны этого треугольника представляют собой продолжение прямых, соответствующих ограничениям (2) и (4).

В точке  ограничение (4) становятся связывающими, а ограничение (1) перестает быть связываю

щим. Оптимальному решению при этом соответствует точка , а пространством допустимых решений становится многоугольник . В точке  ограничение (1) становится избыточным, так как дальнейший рост запаса этого ресурса не влияет ни на пространство решений, ни на оптимальное решение (избыточное и несвязывающее ограничения – разные понятия). Значит точка  и определяет оптимальное решение, которое соответствует максимальному увеличению ресурса А. Таким образом, предельный уровень увеличения ресурса A определяется из условия:

.

Подставляем найденные значения  в ограничение (1), получаем максимально допустимый запас ресурса А:

 ц.,

т.е. максимальное увеличение ресурса А равно:  ц.

Значение целевой функции при этом будет равно:

 тыс. руб.

Аналогично поступаем с ресурсом В. Максимальное увеличение ресурса В приводит к новой оптимальной точке  – точке пересечения прямых, соответствующих (1) и (6) ограничениям (рис. 5.2), т.е. определяется из системы уравнений:

,    .

Запас ресурса В можно увеличить до значения:

 ц.,

или на величину

 ц.

При этом значение целевой функции будет:

 тыс. руб.

Несвязывающие ограничения

Ограничение (4):   фиксирует предельный спрос на краску 2. Из рис. 5.2 видно, что, не изменяя оптимального решения, прямую (4) можно опускать вниз до тех пор пока она не пройдет через точку  (пока ограничение (4) не станет связывающим). Так как , то уменьшение спроса на краску 2 до величины  (ордината точки С) никак не повлияет на оптимальность ранее полученного решения.

Ограничение (3): . И в этом случае можно сдвигать прямую (3) параллельно самой себе до тех пор, пока она не пройдет через точку  (ограничение (3) станет связывающим). При этом правая часть ограничения станет

равной:  , что позволяет записать ограничение (3) в эквивалентной форме: , или . Этот результат показывает, что ранее полученное оптимальное решение не изменится, если спрос на краску 1 превысит спрос на краску 2 не более чем на 2 ц.

Все полученные данные сведем в таблицу 5.1.

Таблица 5.1