Формулы пропозициональной нечёткой логики составляются из элементов множества переменных  и констант 0 (ложь) и 1 (истина) с помощью логических связок Ù, Ú, Ø следующим образом:

1)  формулы для всех i = 1, 2, …;

2) 0 и 1 – формулы;

3) если g и f – формулы, то (f Ù g) и (f Ú g) – формулы;

4) если f – формула, то Øf – формула.

Множество всех формул обозначается через F.

Аксиомы нечёткой пропозициональной логики:

(F1)       Ø0 = 1,

(F2)       A Ù 1 = A, A Ú 1 = 1, A Ù 0 = 0, A Ú 0 = A,

(F3)       Ø(A Ù B) = ØA Ú ØB, Ø(A Ú B) = ØA Ù ØB,

(F4)       A Ù (B Ú C) = (A Ù B) Ú (A Ù C), A Ú (B Ù C) = (A Ú B) Ù (A Ú C),

(F5)       ØØA = A,

для всех A, B, C Î F.

Нечёткой интерпретацией называется произвольная функция , такая, что

t(0) = 0, t(1) =1, t(f Ù g) = min (t(f), t(g)),

t(f Ú g) = max (t(f), t(g)), t(Øf) = 1 – t(f).

Любая функция  может быть единственным образом расширена до некоторой интерпретации .

Формула f Î F называется нечётко общезначимой, если для любой нечёткой интерпретации t верно неравенство t(f) ³ 0.5. Формула f Î F называется нечётко противоречивой, если для любой нечёткой интерпретации t верно неравенство: t(f) £ 0.5.

Например, формула  нечётко общезначима, а  – нечётко противоречива.

Теорема 1. Формула  f Î F  нечётко общезначима тогда и только тогда, когда  f – тавтология в исчислении высказываний K. Формула f Î F нечётко противоречива тогда только тогда, когда она невыполнима в K.

Литералом называется переменная  или её отрицание . Конъюнкция литералов называется конъюнктом, дизъюнкция литералов – дизъюнктом.

Например:  – конъюнкт,  – дизъюнкт.

Формула f Î F называется дизъюнктивной нормальной формой (ДНФ), если для некоторых конъюнктов . Аналогично конъюнкция  дизъюнктов  называется конъюнктивной нормальной формой (КНФ).

Аксиомы пропозициональной нечёткой логики позволяют переводить любую формулу в ДНФ и в КНФ, в которых не участвуют константы 0 и 1.

Нечёткой импликацией fÞg называется бинарное отношение на F, означающее, что для любой нечёткой интерпретации  верно неравенство t(f) £ t(g).

Принцип резолюции

Формула f называется содержащей дополнительные переменные, если в ней участвуют литералы   и  для некоторого i Î w. Пусть  и  – такие высказывания, что  и  не содержат ни , ни  в качестве сомножителя, и каждое из  и  не содержит дополнительных переменных. Тогда  называется резольвентой  и  с ключевым словом  и обозначается: . В обычной логике принцип резолюции:

можно применять для доказательства теорем. Следующий пример показывает, что нечёткая импликация:

не всегда верна.

Пример

. Предположим, что при некоторой интерпретации t(x) = 0.3, t() = 0.1, t() = 0.2. Тогда t() = 0.3, t() = 0.7. Следовательно, t() = 0.3. С другой стороны, , и, значит, . Тем не менее, в некоторых случаях этот принцип применять можно.

Теорема 2. Пусть  и  – высказывания,  – резольвента  и  с ключевым словом . Тогда справедливы утверждения:

1) если , то ;

2) если , то .

В частности, если  нечётко общезначима в том смысле, что , то , и значит .