При дедуктивном выводе можно применять два правила вывода. Первое из них мы уже рассматривали, а второе выражает принцип доказательства от противного:

 (Modus Ponens), (Modus Tollens).

Рассмотрим применение этих правил для нечёткого дедуктивного вывода.

Нечёткие переменные

Пусть U – множество, A Í U – подмножество, элементы которого выделяются с помощью некоторого свойства, определяемого с помощью характеристической функции . Тогда высказывание: «X принимает значения во множестве A» – означает, что переменная X пробегает значения из U, и это высказывание будет принимать значения, равные . Это высказывание записывается: «X есть A», например, если U = w, а A – подмножество чётных чисел, то запись: «X есть чётное число» будет равносильна X Î A.

Нечёткая переменная определяется как пара, состоящая из символа переменной X, принимающей значения в U, и некоторого множества A, заданного с помощью функции . Эта пара записывается: «X есть A». На обычном языке X будет именем элементов универсума, а A – нечётким свойством. Например, «температура нормальная» содержит переменную «температура», принимающую значения в универсуме температур, а «нормальная» будет их нечётким свойством.

Рассмотрим множество составных высказываний, образованных из высказываний: «X есть A» с помощью союзов «и», «или», и связок «если…, то…», «не» – следующим образом:

1) «X есть A и Y есть B» равносильно «(X, Y) есть A Ç B», с , , где A Ç B – нечёткое множество на U ´ V с функцией принадлежности ;

2) «X есть A или Y есть B» равносильно «(X, Y) есть A È B», где ;

3) «если X есть A, то Y есть B» равносильно «(X, Y) есть A ® B», где ;

4) «X не есть A» равносильно «X есть не A», где .

Правила нечёткого вывода

Пусть  – треугольная форма, и пусть импликация связана с ней следующим образом:

.

Например, если a Ù b = min(a, b), то a ® b будет импликацией Геделя. Для треугольной нормы Лукасевича  импликация определяется как .

Обобщённое правило Modus Ponens было предложено Л. Заде. Пусть заданы нечёткие множества A, B, A¢ с помощью функций: , , . Тогда будет справедливо правило вывода:

Если X есть A, то Y есть B

,

где нечёткое множество B¢ определяется функцией , принимающей значения: .

Нечеткое множество B¢ можно записать также, пользуясь аналогией с произведением матриц  ,и записать B¢ и A¢, как строки (вместо сложения участвует операция sup, вместо умножения – треугольная норма).

Аналогично для нечётких множеств A, B, B¢, заданных с помощью функций , , , обобщённое правило Modus Tollens определяется следующим образом:

Если X есть A, то Y есть B

.

Это правило выражается с помощью равенства:

,

если импликация удовлетворяет закону контрапозиции  . Это верно, например, для треугольной формы Лукасевича и связанной с ней импликацией.