Левосторонний и правосторонний пределы функции в точке

Переходим к рассмотрению односторонних пределов функции в точке x0, при которых переменная x «движется» к x0 слева (левосторонний предел) или справа (правосторонний предел). Нам потребуется понятие полуокрестности.

Пусть d > 0. Интервал (a, x0) называется левой полуокрестностью точки x0, интервал (x0 d, x0) – левой d-полуокрестностью точки x0. Интервалы (x0, b), (x0, x0 + d) называются, соответственно, правой полуокрестностью и правой d-полуокрестностью точки x0 (см. рис. 1.8, 1.9).

Пусть f(x0) определена в левой полуокрестности точки x0.

Число b называется левосторонним пределом функции f(x) в точке x0 (обозначение: f(x) = b), если для любого e > 0 найдется d > 0, такое, что для всех значений x, принадлежащих левой d-полуокрестности (x0d, x0), выполняется неравенство: |f(x) – b| < e.

Символическиf(x) = b означает: "e>0$d > 0 "x(x0 d < x < x0 ® | f(x) – b | < e) (см. рис. 1.8).

Аналогично, число b называется правосторонним пределом функции f(x) в точке x0 (обозначение: f(x) = b), если для любого e > 0 найдется d > 0, такое, что для

всех значений x, принадлежащих правой d-полуокрестности (x0, x0 + d), выполняется неравенство: | f(x) – b | < e  (см. рис. 1.9).

Символическиf(x) = b означает: "e >0 $d >0 "x(x0 < x < x0 + d ® |f(x) – b| < e).

Пример 3. Функция f(x) задана равенством (рис. 1.10):

f(x) =   .

Найти f(x) и f(x).

Решение. Покажем, что f(x) = 1, а     f(x) = 3.

Рассмотрим значения x < 1, тогда f(x) = 2x – 1 и | f(x) – 1| = |2x – 1 – 1| = 2|x – 1|. Зафиксируем малое   e > 0. Подсчитаем: | f(x) – 1| < e Û 2 |x – 1| < e Û  |x – 1| < . Так как x < 1, то  f(x) – 1| < e, если 1 –  < x < 1, следовательно, d = . Итак, если 1 –  < x < 1,   то | f(x) – 1| < e,    т.е.   f(x) = 1.

Рассмотрим значения x > 1,   тогда f(x) = 4 – x.   Зафиксируем e > 0,

| f(x) – 3| = |2 – x – 3| = |1 – x|.  Отсюда  | f(x) – 1| < e  Û  |1 – x| < e, т.е. | f(x) – 1 | < e   для   x Î (1, 1 + e).   Значит,  f(x) = 3.

Очевидно, если f(x) = b,    то   f(x) = b   и    f(x) = b.

Верно и обратное, если f(x) = f(x) = b, то f(x) = b.

Если же правосторонний предел функции в точке x0 не равен левостороннему пределу функции в точке x0, то f(x) = b не существует. Так, в примере 3 функция f(x) не имеет предела в точке x0.