Пусть в каждой точке Р фигуры  задана плотность . Возникает вопрос: как найти массу фигуры? Для решения задачи используют схему определения определенного интеграла [2]:

1) разбиваем фигуру  на n элементарных фигур  считая плотность в них постоянной;

2) в каждой элементарной фигуре возьмем току  и найдем массу : ;

3) полная масса получается суммированием всех «элементарных» масс :

.                                                    (1.33)

4) точное значение массы фигуры, получится, если перейти к пределу, устремив наибольшую из длин элементарных фигур к нулю ( – называется максимальным диаметром разбиения фигуры на элементарные), тогда

,                                                  (1.34)

получили точное значение для массы М фигуры.

Сумму (1.33.) называют интегральной для плотности f(P) заданной на фигуре . Интегральная сумма зависит от способа разбиения фигуры на элементарные  и от выбора точек Р_К в них. В пределе эти отличия стираются. Предел не зависит от способов составления интегральных сумм. Такой предел называют определенным интегралом по фигуре от функции f(P):

· в случае отрезка [a,b] интеграл обозначается  и называется определенным интегралом по промежутку [a,b]; концы а и b отрезка называют нижним и верхним пределами интегрирования;

· в случае, когда фигура – линия L интеграл обозначается так:

                                                (1.35)

и называется криволинейным интегралом по длине дуги (см. разд. 1.3);.

· в случае, когда фигура – плоская область D, интеграл называется двойным и обозначается:

                                                  (1.36)

· когда фигура  – поверхность S, то интеграл обозначается:

                                                  (1.37)

и называется поверхностным интегралом первого рода (по площади поверхности);

· в случае пространственного тела V интеграл обозначается:

                                                 (1.38)

и называется тройным.

Функция f(P) называется интегрируемой функцией, а выражение f(P)dx или  f(P)dl, или f(P)dσ, или f(P)dv – подынтегральным.

Замечание

1) Мы назвали интегралами по фигуре пределы соответствующих интегральных сумм. Всегда ли такой предел существует? Оказывается, далеко не всегда. Так, например, определенный интеграл  как предел интегральной суммы существует всегда, если

функция f(x) – непрерывная на [a,b]. Если функция f(x) разрывна, то определенный интеграл может и не существовать [3].

Итак, признаки существования интеграла носят аналогичный характер (достаточный) и в других случаях: если f(x) непрерывна на замкнутой, т.е. включающей границу, и ограниченной фигуре, то интеграл от неё  существует.

2) В задаче о массе фигуры интегрируемой функцией f(p) служит плотность. Для плоской области D её масса

,                                                       (1.39)

а для тела

 и т.д.                                                (1.40)

Вывод: масса фигуры равна соответствующему интегралу по фигуре от плотности.