В полярных координатах можно вычислить важный для теории вероятностей и уравнений математической физики интеграл Эйлера-Пуассона:

.                                                             (1.58)

Так как интеграл не зависит от обозначения переменной интегрирования, то записывается также:

                                                              (1.59)

Умножая почленно последние равенства, придем к двойному интегралу:

,                                                        (1.60)

где       D:  (рис. 1.18).

В полярных координатах:

Отсюда, учитывая, что J > 0, находим:

В силу четности функции , получим:

что представляет собой площадь, ограниченную осью Ох и кривой Гаусса .

Задачи для упражнений

1) Вычислить интегралы:

а) ;                                                                       Ответ: .

б) ;                                                                     Ответ: .

в) ;                                                               Ответ: .

2) Изменить порядок интегрирования:

а) ;                                                                Ответ: .

б) ;                                                               Ответ: .

в) .                                                               Ответ: .

3) Перейти к полярным координатам и расставить пределы интегрирования:

а) , где D – круговой сектор, ограниченный линиями:

                                         Ответ: .

б) , где D – треугольник с вершинами O(0,0), A(2,-1) и B(2,1);

                                                                                               Ответ: .

4) Найти объемы тел, ограниченных поверхностями:

а)                                            Ответ: .

б). .                     Ответ: .

в).                                          Ответ: .