С учетом выражения (1.5) можно определить изображение по Лапласу входной величины ПИЭ:
.
Поскольку 
при всех t, отличных от 
, окончательно имеем:
, (2.1)
где D{…} – символ дискретного преобразования Лапласа или D-преобразования. Следовательно, непрерывное преобразование Лапласа (L-преобразование) модулированной последовательности 
-функций равно дискретному преобразованию Лапласа (D-преобразованию) соответствующей решетчатой функции:
.
Наличие экспоненциальных членов в D-изображениях и связанная с этим необходимость оперировать трансцендентными уравнениями и передаточными функциями несколько усложняет использование D-преобразования.
Если в выражении (2.1) 
заменить на z, то получим формулу так называемого Z-преобразования для дискретных значений сигнала:
(2.2)
где комплексные переменные p и z связаны между собой следующим образом:
и 
. (2.3)
Следует отметить, что согласно выражению (2.2) Z-изображение представляет собой сумму членов бесконечного ряда. Если возможно, то необходимо преобразовывать его в компактную форму.
Рассмотрим несколько примеров определения Z-изображений для различных типов сигналов.
Пример 3
Необходимо найти Z-изображение выходного сигнала ПИЭ, входной сигнал которого – экспоненциальная функция 
.
Следуя рассмотренной методике, необходимо, в первую очередь, найти решетчатую функцию, соответствующую 
. Выполнение этой операции сводится к формальной замене непрерывного аргумента t в функции на дискретное время . В рассматриваемом примере:
.
Следующий этап – нахождение дискретного преобразования Лапласа приведенной решетчатой функции. С учетом выражения (2.1) имеем:
.
Применяя формулу суммы членов бесконечно убывающей прогрессии, получаем:
.
Переход к Z-изображению осуществляем на основании выражения (2.3):
. (2.4)
Пример 4
Необходимо найти Z-изображение выходного сигнала ПИЭ, входной сигнал которого – единичная ступенчатая функция 
. Искомое изображение определим непосредственно по формуле (2.2):
. (2.5)
Аналогичный результат может быть получен, если в выражении (2.4) перейти к пределу при 
.
Пример 5
Необходимо найти Z-изображение функции 
.
Соответствующая решетчатая функция 
. На основании выражения (2.2) имеем:
.
Умножая обе части этого выражения на 
, получим:
.
Вычтем последнее выражение из предыдущего:
.
Следовательно,
. (2.6)
Рассмотрим иной метод выполнения Z-преобразования, который предполагает использование непрерывного L-изображения сигнала 
вместо решетчатой функции 
и ее D-изображения.
Для случая, когда изображение 
имеет конечное число простых полюсов, оно может быть представлено в виде:
,
где p – i-й простой полюс изображения ; k – порядок полинома 
; 
Осуществим замену 
и преобразуем последнее выражение к виду:
. (2.7)
Пример 6
Используя формулу (2.7), необходимо найти Z-изображение экспоненциального сигнала (см. пример 3) непосредственно по его L- изображению.
Зная, что
.
можно записать:
.
Тогда
.
Как и следовало ожидать, полученный результат совпадает с выражением (2.4).
Согласно выражению (2.2) 
определяется только величинами дискрет решетчатой функции 
и абсолютно не учитывает поведение непрерывного сигнала 
между моментами квантования. Тем не менее, для обозначения операции Z-преобразования наряду с 
в дальнейшем используются выражения вида 
или 
. Эта формальная запись означает только то, что Z-преобразование осуществляется по решетчатой функции, полученной путем квантования непрерывного сигнала , обладающего L-изображением 
.
Для наиболее часто встречающихся функций существуют таблицы Z-изображений, достаточно подробные таблицы приведены в /2,11/.