2.1.    Дискретное преобразование Лапласа. Z-преобразование

С учетом выражения (1.5) можно определить изображение по Лапласу входной величины ПИЭ:

.

Поскольку  при всех t, отличных от , окончательно имеем:

 ,                                    (2.1)

где D{…} – символ дискретного преобразования Лапласа или D-преобразования. Следовательно, непрерывное преобразование Лапласа (L-преобразование) модулированной последовательности -функций равно дискретному преобразованию Лапласа (D-преобразованию) соответствующей решетчатой функции:

.

Наличие экспоненциальных членов в D-изображениях и связанная с этим необходимость оперировать трансцендентными уравнениями и передаточными функциями несколько усложняет использование D-преобразования.

Если в выражении (2.1)  заменить на z, то получим формулу так называемого Z-преобразования для дискретных значений сигнала:

                     (2.2)

где комплексные переменные p и z связаны между собой следующим образом:

  и          .                               (2.3)

Следует отметить, что согласно выражению (2.2) Z-изображение представляет собой сумму членов бесконечного ряда. Если возможно, то необходимо преобразовывать его в компактную форму.

Рассмотрим несколько примеров определения Z-изображений для различных типов сигналов.

Пример 3

Необходимо найти Z-изображение выходного сигнала ПИЭ, входной сигнал которого – экспоненциальная функция .

Следуя рассмотренной методике, необходимо, в первую очередь, найти решетчатую функцию, соответствующую . Выполнение этой операции сводится к формальной замене непрерывного аргумента t в функции  на дискретное время . В рассматриваемом примере:

.

Следующий этап – нахождение дискретного преобразования Лапласа приведенной решетчатой функции. С учетом выражения (2.1) имеем:

.

Применяя формулу суммы членов бесконечно убывающей прогрессии, получаем:

.

Переход к Z-изображению осуществляем на основании выражения (2.3):

 .                                                     (2.4)

Пример 4

Необходимо найти Z-изображение выходного сигнала ПИЭ, входной сигнал которого – единичная ступенчатая функция .



Искомое изображение определим непосредственно по формуле (2.2):

.                                   (2.5)

Аналогичный результат может быть получен, если в выражении (2.4) перейти к пределу при .

Пример 5

Необходимо найти Z-изображение функции .

Соответствующая решетчатая функция . На основании выражения (2.2) имеем:

.

Умножая обе части этого выражения  на , получим:

.

Вычтем последнее выражение из предыдущего:

.

Следовательно,

.                                      (2.6)

Рассмотрим иной метод выполнения Z-преобразования, который предполагает использование непрерывного L-изображения сигнала  вместо решетчатой функции  и ее D-изображения.

Для случая, когда изображение имеет конечное число простых полюсов, оно может быть представлено в виде:

,

где p – i-й простой полюс изображения ; k – порядок полинома ;

Осуществим замену и преобразуем последнее выражение к виду:

.                                             (2.7)

Пример 6

Используя формулу (2.7), необходимо найти Z-изображение экспоненциального сигнала (см. пример 3) непосредственно по его L- изображению.

Зная, что

.

можно записать:

.

Тогда

.

Как и следовало ожидать, полученный результат совпадает с выражением (2.4).

Согласно выражению (2.2)  определяется только величинами дискрет решетчатой функции  и абсолютно не учитывает поведение непрерывного сигнала  между моментами квантования. Тем не менее, для обозначения операции Z-преобразования наряду с  в дальнейшем используются выражения вида  или . Эта формальная запись означает только то, что Z-преобразование осуществляется по решетчатой функции, полученной путем квантования непрерывного сигнала , обладающего L-изображением .

Для наиболее часто встречающихся функций  существуют таблицы Z-изображений, достаточно подробные таблицы приведены в /2,11/.