Задача 1
Проинтерполировать функцию полиномом
, причем совпадение значений
и
требуется при
. Найти относительную погрешность приближения
значения
.
Решение
Прежде всего, построим интерполяционную таблицу:
.
x |
0 |
1 |
2 |
y |
1 |
2 |
4 |
Размерность таблицы равна: 3, ;
.
Получаем систему линейных уравнений:
Получаем интерполяционный полином:
.
Проверим результат: ,
,
;
– интерполяционный полином.
Найдём относительную погрешность:
,
,
f(3) = ,
.
Ответ: ,
.
Задача 2
Проинтерполировать функцию функцией
, причем совпадение значений
и
требуется при x = 0; 1; 2. Найти относительную погрешность приближения
значения
.
Решение
Построим интерполяционную таблицу:
x |
0 |
1 |
2 |
y |
1 |
2 |
4 |
Для нахождения неизвестных составим систему уравнений:
Полагая, что знаменатели дробей не обращаются в нуль, получаем систему линейных уравнений:
Система линейных уравнений имеет единственное решение:
Следовательно, или
.
Проверим результат:
,
,
.
Найдём относительную погрешность:
,
,
.
Ответ: ,
.
Отметим, что функция не является непрерывной при x = 4. В отличие от задачи 1 задача 2 не всегда имеет решение. Существуют интерполяционные таблицы, для которых нельзя построить интерполяционную функцию j(x). В этом случае в ответе нужно указать, что задача не имеет решения.
Задача 3
По интерполяционной таблице построить интерполяционный полином и представить его в виде суммы полиномов Чебышева. Указать число M такое, что
для
:
x |
-1 |
0 |
1 |
y |
6 |
1 |
2 |
Решение
Сначала нужно построить в виде:
. Так как размерность таблицы равна 3, то
.
Запишем систему линейных уравнений для нахождения неизвестных :
Запишем интерполяционный полином: .
Проверим результат: ,
,
.
Теперь нужно представить в виде суммы полиномов Чебышева:
.
Известно, что ,
.
найдем по рекуррентной формуле:
;
Выражаем через полиномы Чебышева:
,
,
.
Запишем в общем виде:
.
Для нашего случая: .
Число M можно найти двумя способами. В общем случае:
или
.
В нашем случае:
Ответ: , M = 6.