Вычисление интеграла (1.4) и (1.5) сводится к определенному. Пусть, например, кривая К  задана уравнениями: x = x(t),  y = y(t),  z = z(t), , тогда длина элементарной дуги, интеграл (1.4) выражается определенным интегралом:

.                                  (1.7)

Если, в частности, кривая К имеет явное задание y = y(x)  , то

.                                            (1.8)

Из соотношения (1.7) и (1.8) следует, что криволинейный интеграл первого рода существует, если f – непрерывная функция на К.

Пример 1

Вычислить  по длине плоской кривой y = ln x при .

Решение. Используем формулу (1.8), найдем, что  и

Пример 2

Найти массу полуокружности x² + y² = 1,   , если линейная плотность её в текущей точке M(x,y) пропорциональна ординате y.

Решение. За параметр возьмем величину угла t, тогда параметрическое уравнение линии К: x=cos t, y=sin t .

Элементарная масса dm = ky dl,  т.е.   тогда по формуле (1.7):

.

Пример 3

Найти , если         К – дуга линии:  x  =t,  ,   ,  .

Решение. По формуле (1.7) имеем:

.

Задачи для упражнений

1) Найти , если К – дуга параболы , лежащая между  и .      Ответ: .

2) Найти , если К – дуга линии y = ln(1 + t²),  y  =arctg t – t,  .        Ответ: .

3) Найти  по дуге витка винтовой линии: x = cos t,  y  =sin t,  z = t, при .                                                                                                        Ответ: .

4) Определить массу окружности x² + y² = R², если плотность её в точке М(х, у) равна: .                                                                                                        Ответ: .

5) Определить координаты центра тяжести С(х₀, у₀) однородной полуокружности К: .

Указание. В механике доказано, что координаты центра тяжести однородной кривой К задаются формулами:

где  L – длина дуги кривой К.                                                      Ответ: .