Для удобства вычислений вводят полярные координаты: x = rcosφ;  y = rsinφ. Пусть область D ограничена двумя кривыми с полярными уравнениями r = r₁(φ)  и  r = r₂(φ) и лучами φ  =φ₁  и  φ = φ₂, исходящими из полюса (рис. 1.14). Требуется вычислить

.

Используя связь декартовых координат с полярными, преобразуем функцию f(x, y) в функцию переменных r и φ:

Найдем выражение для элемента площади в полярных координатах. Для чего разобьем область D с помощью окружностей  и лучей  .

Получившийся элемент площади (рис. 1.14) можно принять за прямоугольник со сторонами  и , тогда

                               (1.54)

дает выражение элемента площади в полярных координатах. Двойной интеграл примет вид:

                (1.55)

Чтобы вычислить этот интеграл, будем трактовать его как массу пластинки D с плотностью . Проведя разбиение так, как показано на (рис. 1.14) мы определим массу стрежня между лучами  и , после чего просуммируем все такие массы, т.е. проинтегрируем в пределах  до , получим массу всей пластины D. Итак,

1) масса заштрихованного «прямоугольника» есть ;

2)  – масса стержня ( и  – постоянны);

3) масса всей пластины равна:

            (1.56)

Если область D ограничена замкнутой кривой , а полюс лежит внутри области, то пределы будут (рис. 1.15):

                                                     (1.57)

Пример 1

Вычислить ,  D – первая четверть круга радиуса R = 1, с центром в точке О(0,0).

Решение. Так как ,  а  . На основании формулы (1.56) имеем:

Пример 2

Найти объем V тела, ограниченного поверхностями   и   z= 0. (рис. 1.16).

Решение. Согласно (1.41.) , где D – круг .

Перейдя к полярным координатам, получим:

,

поэтому

Пример 3

Найти площадь, ограниченную лемнискатой Бернулли:

.

Решение. В полярной системе это уравнение имеет вид:  (рис. 1.17).

Правая петля получена при изменении  в пределах , а левая при .

.