Областью в комплексной плоскости называется множество D точек этой плоскости, обладающее свойствами:
1) открытости – вместе с точкой из D этому множеству принадлежит и достаточно малая окрестность с центром в этой точке;
2) связности – любые две точки D можно соединить ломаной, целиком состоящей из точек D.
Примером области могут служить окрестности точек на комплексной плоскости. Под e-окрестностью точки z0 понимают открытый круг радиуса e с центром в этой точке: |z – z0| < e.
Область называется ограниченной (или конечной), если все ее точки можно поместить в круг достаточно большого конечного радиуса R. В противном случае область называется неограниченной (бесконечной).
Граничной точкой области D называют такую, которая сама не принадлежит D, но в любой ее окрестности лежат точки этой области (рис. 2.2,а). Совокупность граничных точек области D называется границей этой области.
Например, для e-окрестности точки z = i является окружность |z–i|=e. Так как z = x+iy, то |x + iy –i| = e Þ 
= e Þ x2 + (y – 1)2 = e2 – окружность радиуса e с центром в точке х = 0, у = 1 комплексной плоскости.
Область с присоединенной к ней границей называют замкнутой и обозначают D. Будем в дальнейшем предполагать, что граница области состоит из конечного числа замкнутых линий, разрезов (дуг) и точек. Линии и разрезы, входящие в состав границы будем предполагать всегда кусочно-гладкими.
Область называется односвязной, если граница состоит из одной связной линии. Область называется многосвязной, если граница области состоит из нескольких связных частей, например: двухсвязной, трехсвязной и т.д. – по числу не связных между собой частей границы. На рис. 2.2,б – пример двухсвязной области.
Обход односвязной области считается положительным, если она остается по левую руку (контур обходится против хода часовой стрелки). На рис. 2.2,б сделан разрез l, а обход области изображен положительным (область в результате разреза стала односвязной).
Пример 1
Построить области:
а) 
; б) 
; в) 
; г) 
.
Указать, является ли каждая из этих областей открытой или замкнутой, ограниченной или неограниченной, односвязной или многосвязной.
Решение:
а) 
поэтому получим: 
. Область (рис. 2.3) – замкнутая, ограниченная, односвязная.
б) 
и 
– лучи, выходящие из начала координат (рис. 2.4). Все точки, удовлетворяющие неравенству б) лежат внутри угла, образованного этими лучами, и на сторонах этого угла. Следовательно, область замкнутая, неограниченная, односвязная.
Неравенство 
означает, что расстояние каждой точки z от точки 
больше 1, но меньше 2. Поэтому областью есть кольцо (его внутренность), ограниченное концентрическими окружностями с центром в точке . Область – открытая, ограниченная, двухсвязная (рис. 2.5).
г) Неравенство 
равносильно 
или
,
или, возведя в квадрат обе части, получим:
х2 + у2 – 2у + 1 < х2 + у2 + 2у + 1.
Отсюда: 
– верхняя полуплоскость (рис. 2.6).
Вывод: область у>0 – открытая, неограниченная, односвязная (рис. 2.4).
Определение. Кривая называется непрерывной, если она может быть задана параметрическими уравнениями:
, (2.18)
в которых 
– непрерывные функции на отрезке 
.
Например, окружность 
; дуга окружности
; дуга параболы 
– непрерывные кривые; гипербола 
не является непрерывной, так как функции эти при 
и 
имеют точки разрыва.
С помощью комплексного переменного 
параметрические уравнения кривой (2.18) можно записать в виде одного уравнения:
. (2.19)
Например, уравнение эллипса с полуосями a и b можно записать:
;
уравнение окружности радиуса R
;
единичной окружности:
;
уравнение окружности 
с центром в точке 
запишется так:
.
Задачи для упражнений
1) Построить в комплексной плоскости линии, точки которых удовлетворяют уравнениям:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 
; з) 
2) Построить на комплексной плоскости z области, заданные условиями:
а) 
б) 
в ) 
г) 
д) 
Указать, является ли каждая из этих областей открытой или замкнутой, ограниченной или нет, односвязной или многосвязной.
3) Какие кривые определяются следующими уравнениями:
а) 
б) 
в) 
;
г) 
д) 
е) 
ж) 
.
Ответы: а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
ж) 