Если функция 
– аналитическая в области 
, то осуществляемое ей отображение обладает свойствами:
1) любую область 
из функция переводит в область 
на плоскости 
, причем граница области переходит в границу области с сохранением обхода. Это значит, что если точка z движется по границе так, что область остается слева, то точка 
движется по границе области так, что также остается слева;
2) всякая непрерывная кривая 
из отображается в непрерывную кривую 
в ;
3) пусть 
и кривые 
и 
, выходящие из точки 
перешли в кривые ¢ и ¢, выходящие из 
. Тогда угол между и в точке равен углу между ¢ и ¢ в точке , причем относительно действительной оси этот угол повернулся на величину 
;
4) пусть кривая , соединяющая точки и z, в результате отображения функцией перешла в кривую , соединяющую точки и 
, тогда 
не зависит от направления исходящей кривой .
Отображение, обладающее свойствами 3 и 4, т.е. такое, при котором сохраняются углы (носит название консерватизма улов) и постоянства коэффициента растяжения (сжатия) называется конформным.
Вывод: аналитическая функция 
, для которой 
, осуществляет конформное отображение, причем 
, а 
=
, т.е. углу поворота лучей, выходящих из этой точки.
Пример 1
Какое отображение, осуществляется функцией 
?
Решение: Найдем 
: 
, следовательно, функция аналитическая, и отображение этой функцией конформно во всей плоскости z с коэффициентом растяжения ρ=5 в любой точке. Так как 
, то направление при отображении не меняется.
Пример 2
Какое отображение, осуществляется функцией 
?
Решение: Производная 
в точке z=0 обращается в нуль 
. Поэтому отображение этой функцией конформно во всех точках плоскости z кроме z = 0. Так как arg w = 3 arg z, то получим 
— лучи, выходящие из точки z = 0 и образующие угол равный 
, отображающиеся соответственно в лучи arg w = 3 и arg w = 3b, образующие между собой угол 3(b – a). Следовательно, в точке z = 0 конформность нарушается: углы в этой точке не сохраняются, а утраиваются.
Пример 3
В каких точках нарушается конформность отображения 
?
Решение: Найдем 
: 
. Приравняв ее нулю, найдем точки, в которых есть нарушения конформности: это точки z1 = 1 и z2 = 3.