Среди множества рядов, близких к степенным по своему строению и свойствам, являются ряды, расположенные по целым отрицательным степеням z – z0:
2.103)
Сделаем замену 
в (2.103), получим:
. (2.104)
Как известно радиус сходимости полученного ряда есть число R (2.90): если R = 0, то ряд (2.104) сходится в точке t = 0; если 0 < R < ¥ , то ряд сходится абсолютно в круге 
и расходится вне его; если R = ¥, то ряд абсолютно сходится в любой конечной точке плоскости. В виду замены 
следует, что если 
, то ряд (2.103) расходится в каждой конечной точке; если 
, то он абсолютно сходится при 
и расходится при 
; если 
, то ряд абсолютно сходится во всех точках плоскости, за исключением z = z0. Если считать, что 
; тогда существует область сходимости ряда (2.103): 
, которую обозначим через G. Тогда как ряд (2.104) сходится равномерно на всяком замкнутом множестве в круге 
, и преобразование 
переводит всякое замкнутое множество точек указанного круга в некоторое замкнутое множество точек области G. В этой области ряд (2.103) определяет функцию:
(2.105)
аналитическую во всех точках области G. В бесконечно удаленной точке g(z) принимает значение 
. Будем по определению называть функцию g(z) аналитической в бесконечно удаленной точке.
Следовательно, аналитичность функции в z=¥ характеризуется наличием в разложении ряда вида (2.105).
Определение. Ряд вида
, (2.106)
где z0 – фиксированная точка комплексной плоскости, an – заданные комплексные числа, называется рядом Лорана . Этот ряд сходится в точке z, если в этой точке сходятся ряды:
(правильная часть ряда Лорана) (2.107)
и
(главная часть ряда Лорана), (2.108)
а сумма 
ряда (V.3.4) по определению равна сумме рядов (2.107) и (2.108), т.е. 
.
Теорема. Функцию, аналитическую в кольце 
, можно разложить в ряд по положительным и отрицательным степеням разности z – z0, сходящийся во всех точках кольца (2.106) или в развернутом виде:
(2.109)
Для доказательства возьмем произвольную точку z внутри кольца 
и проведем две концентрические окружности К1 и К2 так, чтобы z лежала между ними (рис. 2.29). Сделаем разрез mn. Получим контур L: К1 + mn + К2 + nm, который ограничивает односвязную область D. Функция 
аналитическая в области 
(область D¢ обозначена штриховой линией). По интегральной формуле Коши:
По свойству аддитивности:
(2.110)
Так как контур mn проходится в двух противоположных направлениях и подынтегральные выражения в интегралах совпадают, то интегралы, берущиеся по этим контурам, взаимно уничтожаются. Обход в третьем интеграле заменим на противоположный, из (2.110) получим:
(2.111)
В первом интеграле переменная zÎК1, а z находится внутри контура, поэтому 
, а дробь 
разлагаем в ряд, представляющий сумму членов бесконечно убывающей геометрической прогрессии со знаменателем 
:
Следовательно,
(2.112)
Законность интегрирования ряда гарантируется построением мажорантного числового сходящегося ряда и признаком Вейерштрасса и сравнения. Поэтому
. (2.113)
Обозначим
. (2.114)
Окончательно:
(2.115)
Аналогично, во втором интеграле переменная zÎК2, а точка z лежит вне К2, поэтому 
, а дробь 
разлагается в ряд:
Интегрируя почленно ряд, получим:
. (2.116)
Обозначив
(2.117)
получим:
(2.118)
Равенства (2.111), (2.115), (2.118) дают разложение (2.109).
Формулы для коэффициентов ряда Лорана объединяем в одну:
, (2.119)
где К – произвольная кривая кольца 
.
Методические замечания
а) Имеет место свойство единственности разложения в ряд Лорана. Это значит, что каким бы способом ни разлагали, ряд Лорана будет одним и тем же.
б) Для нахождения коэффициентов ряда Лорана редко пользуются формулой (2.119). Функцию 
, аналитическую в кольце 
, представляют в виде суммы или произведения двух функций (если это возможно):
или 
, из которых одна, например, 
аналитическая внутри большого круга 
, другая – 
– вне меньшего круга 
. Первую разлагают по
положительным, а вторую по отрицательным степеням разности 
. Результаты остается сложить или перемножить.
Пример 1
Разложить 
по степеням z в ряд Лорана в кольце 
.
Решение. Функция 
– аналитическая в кольце . Имеет две особые точки: z = 1 и z = 2. Разобьем функцию на сумму двух, из которых одна – аналитическая в круге 
. Для этого разложим данную дробь на сумму простейших, найдем:
.
Дробь 
разложим в круге 
по положительным степеням z:
.
Дробь 
разложим в круге 
:
.
Следовательно,
Пример 2
Разложить 
по положительным и отрицательным степеням z в кольце 
.
Решение. Для конечного z ¹ 0 имеем:
.
Перемножим выражения в правой части уравнения, найдем, что коэффициенты 
при 
и 
при 
одинаковы:
.
Пример 3
Разложить ряд Лорана функцию 
по степеням z в окрестности:
а) z=0; б) 
.
Решение
а) Выполним тождественные преобразование, которое приводит к использованию суммы членов бесконечно убывающей прогрессии:
.
Поскольку 
, то
.
Разложение содержит только правильную часть. Из 
следует, что область сходимости ряда есть круг 
.
б) Выполним тождественное преобразование с той же целью как в предыдущем примере:
.
Видно, что в окрестности 
выполняется неравенство 
. Следовательно, функция f(z) представима в виде ряда
.
Разложение не содержит правильной части. Ряд сходится в области 
.
Пример 4
Разложить в ряд Лорана функцию 
по степеням z – 2.
Решение. Сделаем замену z – 2 = t. Тогда
Возвращаясь к старой переменной z, получим:
Главная часть содержит два члена; правильная часть – три. Имеем многочлен. Следовательно, разложение верно для всех z, кроме z = 2.
Пример 5
Функцию 
разложить в ряд Лорана в окрестности точки z = 0.
Решение. Используем известное разложение
.
Тогда ряд Лорана для данной функции в окрестности точки z = 0 будет:
Главная часть есть
,
а правильная часть равна
.
Пример 6
Разложить в ряд Лорана функцию 
в окрестности особой точки.
Решение. Особая точка функции есть z=0. В окрестности этой точки 
представляется рядом:
тогда
значит
Главная часть ряда содержит бесконечное число слагаемых, а правильная два.
Пример 7
Разложить функцию 
в ряд Лорана.
Решение. Из курса элементарной алгебры известно правило деления расположенных многочленов. Если многочлены нацело не делятся, то алгоритм можно применять бесконечно, и в результате получится ряд. Деля многочлены «столбиком» получим:
.
Это есть ряд Лорана, который сходится в кольце 0<|z|<1, так как особые точки 
: z=0, z=i, z=-i, и функция аналитическая в указанном кольце.
Пример 8
Разложить 
в ряд Лорана.
Решение. Аналогично предыдущему примеру, после деления многочленов, получим:
Ряд сходится в кольце 
, так как особые точки функции находятся в точках 
, модуль каждого из этих чисел равен единице.