Постановка задачи уточнения корня

Пусть известен отрезок [a, b], который содержит один корень уравнения f(x) = 0. Пусть с – точное значение корня , c Î [a, b]. Требуется найти число , для которого выполняется следующее неравенство: , где e – заданная точность. Число  называется приближенным значением корня с точностью e.

В дальнейшем мы будем рассматривать только итерационные методы для решения задачи уточнения корня. Суть этих методов заключается в следующем.

По функции f(x) строится функция j(x) такая, что уравнение x = j (x) равносильно уравнению  ( уравнения  f(x) = 0  и  x = j (x) имеют одинаковые корни). Затем рассматривается последовательность чисел  , где- начальное приближение корня. Последовательность {x_i} при выполнении некоторых условий сходится к корню x = c.

Процесс вычисления  называется итерационным процессом; последовательность называется последовательностью итераций.

Если последовательность {x_n} сходится к корню c, то, начиная с некоторого n, выполняется неравенство: |x_n – c| £ e. Вычисления на этом прекращается и x_n считается приближенным значением корня, вычисленным с точностью e.

Отметим, что e  – это погрешность численного метода, при этом не учитывается погрешность вычислений на ЭВМ. Последовательность  может сходиться, а может и не сходиться. Если последовательность  не сходится, то при реализации численного метода на ЭВМ получаем, как правило, машинное переполнение.

В дальнейшем будем рассматривать итерационные методы уточнения корня по следующей схеме:

1) условия на применение метода;

2) формула метода;

3) выбор начального приближения и сходимость метода;

4) условие остановки итерационного процесса.