Задача 1
Отделить корни уравнения x3 + 5x – 8 = 0 и построить алгоритм для уточнения одного из них методом простой итерации с точностью ε.
Решение
Отделение корней
Запишем f(x) = 0 в виде: x3 = -5x + 8 и построим графики: y = x3 и y = -5x + 8. Отрезок [1,2] содержит один корень уравнения (рис. 2.9).
Уточнение корня на отрезке [1,2].
1. Отрезок [1,2] содержит один корень уравнения f(x) = 0. Функция f является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке(
).
Рис. 2.9. Отделение корней
2. Рассмотрим несколько функций φ(x):
а) x3 + 5 x- 8 = 0, отсюда
.
.
j1¢(x) = -0.6 x2, отсюда 
.
Следовательно, φ1(x) – неудачный выбор.
б) 
, отсюда 
и 
.
.
Функция φ2(x) не является непрерывно дифференцируемой на отрезке [1,2].
.
φ2(x) – неудачный выбор.
в), следовательно, 
.
, следовательно, 
,
.
φ3(x) является непрерывно дифференцируемой на [1,2].
; 
.
φ3(x) переводит отрезок [1, 2] в себя. Функция φ3(x) сначала возрастает на отрезке 
, достигает максимума при 
, а затем убывает.
φ3(x) возрастает от 
до 
, убывает от до 
. Область изменения φ3(x) полностью принадлежит ее области определения, следовательно, функция φ3(x) переводит отрезок [1,2] в себя.
Выполнены все условия для функции φ(x), следовательно, 
.
3. Начальное приближение: x0 = 1.
4. Условие остановки итерационного процесса:
, .
Число xn+1 , для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным значением корня уравнения, полученным методом простой итерации с точностью ε.
Задача 2
Отделить корни уравнения x3 – 3x2 + 4x – 1 = 0 и построить алгоритм для уточнения одного из них методом Ньютона с точностью ε.
Решение
Отделение корней
, отсюда 
.
Отрезок [0,1] содержит один корень уравнения (рис. 2.10).
Уточнение корня
Проверим условия для функции 
, 
, 
.
Необходимо уменьшить отрезок [0,1] таким образом, чтобы уменьшенный отрезок содержал корень уравнения, и при этом выполнялись все условия для функции f(x).
Рассмотрим отрезок [0,0.9]:
, 
, 
,
.
Рис. 2.10. Отделение корня
Отрезок [0,0.9] содержит один корень уравнения, и для него выполняются все условия для функции f(x). Функция f является дважды непрерывно дифференцируемой на этом отрезке, на концах отрезка принимает значения разных знаков, первая и вторая производные функции f не обращаются в ноль на этом отрезке.
2. Формула метода:
.
3. Начальное приближение:
, следовательно, 
.
4. Условие остановки итерационного процесса:
, где 
.
При выполнении этого условия xn+1 является приближенным значением корня уравнения, полученным методом Ньютона с точностью ε.
Задача 3
Отделить корни уравнения: 2x + 3x – 2 = 0 и построить алгоритм для уточнения одного из них методом хорд с точностью ε.
Решение
Отделение корней
, отсюда 
.
Отрезок [0,1] содержит один корень уравнения: 2x + 3x – 2 = 0 (рис. 2.11).
Уточнение корня
1. Отрезок [0,1] содержит один корень уравнения, функция f является дважды непрерывно дифференцируемой на этом отрезке, на концах отрезка принимает значения разных знаков, первая и вторая производные функции f не обращаются в ноль на этом отрезке:
Рис. 2.11. Отделение корня
, 
,
, 
.
2. Формула метода:
,
где d – неподвижная точка, 
, следовательно 
.
3. Так как d = 1, то начальное приближение x0 = 0.
4. Условие остановки итерационного процесса:
, 
.
При выполнении этого условия xn+1 является приближенным значением корня уравнения, полученным методом хорд с точностью ε.
Задача 4
Построить алгоритм для вычисления 
комбинированным методом хорд и касательных с точностью ε.
Решение
Отметим, что вычисление 
с заданной точностью ε эквивалентно уточнению положительного корня следующего уравнения x2 – a = 0.
1. x2 – 13 = 0. Положительный корень этого уравнения принадлежит отрезку [3,4]:
, 
, 
.
, 
на отрезке [3,4].
Функция f является дважды непрерывно дифференцируемой на этом отрезке, на концах отрезка принимает значения разных знаков, первая и вторая производные функции f не обращаются в ноль на этом отрезке.
2. 
, следовательно, слева применяем метод хорд, а справа – метод Ньютона. Формулы метода:
,
.
3. Точки начального приближения: 
, 
.
4. Условие остановки итерационного процесса:
.
При выполнении этого условия 
является приближенным значением 
, полученным комбинированным методом хорд и касательных с точностью ε.
Задача 5
Известно, что отрезок [1, 2] содержит один корень уравнения: 
. Построим алгоритм для уточнения этого корня методом итераций с точностью e.
Решение
1. Отрезок [1, 2] содержит один корень уравнения: 
.
Функция f является непрерывно дифференцируемой на этом отрезке (
). Первая производная функции f не обращается в ноль на отрезке [1, 2].
для x Î [1, 2].
2. Формула метода:
.
на отрезке [0, 1], следовательно, p > 0.
, p = 8.
.
Проверим, что 
:
,
.
.
3. Начальное приближение: 
.
4. Условие остановки итерационного процесса:
, q = 0.75.
Здесь 
, для которого выполняется условие остановки итерационного процесса, является приближенным значением корня уравнения, полученным методом итераций с точностью e.