Введем несколько определений.
Определение. Квадратурной формулой называется всякая простая формула, аппроксимирующая отдельный интеграл :
,
.
Таким образом, любая формула для нахождения – это квадратурная формула.
Определение. Составная квадратурная формула – это формула, дающая приближение к интегралу
в виде суммы приближений по данной квадратурной формуле к отдельным интегралам :
,
.
Часто вместо «составная квадратурная» формула говорят просто: «формула».
Рассмотрим две простейшие квадратурные формулы: трапеций и прямоугольников.
Квадратурная формула трапеций
Квадратурная формула трапеций аппроксимирует интеграл: .
Заменяем площадь «маленькой» криволинейной трапеции площадью обычной трапеции (рис. 6.2).
Квадратурная формула трапеций:
Рис. 6.2. Квадратурная формула трапеций
,
.
, где
– погрешность квадратурной формулы.
Пояснение. Если для
, то
, где с – константа.
Составная квадратурная формула трапеций
Будем считать, что сетка задана с постоянным шагом .
Запишем интеграл в виде:
, где
,
.
Здесь – составная квадратурная формула трапеций:
,
;
– остаточный член или погрешность формулы трапеций:
, где с – некоторая точка из
;
.
Квадратурные формулы прямоугольников
Квадратурная формула прямоугольников – .
Формула левых прямоугольников: ,
(рис. 6.3,а).
Формула правых прямоугольников:
(рис. 6.3,б).
Рис. 6.3. Квадратурная формула левых (а) и правых (б) прямоугольников
Формула средних прямоугольников (рис. 6.4):
,
.
,
где – погрешность квадратурной формулы прямоугольников;
.
Рис. 6.4. Квадратурная формула средних прямоугольников
Составная квадратурная формула прямоугольников
Запишем интеграл I в виде суммы, где
– составная квадратурная формула прямоугольников,
– остаточный член или погрешность формулы прямоугольников
,
.
Считая шаг сетки постоянным , получаем составную квадратурную формулу прямоугольников:
.
Запишем формулу для погрешности , где с – некоторая точка из
.
.
Недостатком формулы прямоугольников является необходимость вычисления значения в средних точках.